群表示

本文介绍的是抽象群的表示. 关于有拓扑结构的群的表示, 请参见 “拓扑群表示”. 关于有光滑结构的群的表示, 请参见 “Lie 群表示”. 关于有概形结构的群的表示, 请参见 “代数群表示”.

群表示指将抽象的群实现为线性变换, 是研究群的重要手段. 准确地说, 群 $G$ 在域 $k$ 上的表示, 指的是 $k$ 上线性空间 $V$ 以及群同态 $G\to \mathrm{GL}(V)$. 有时也将群到其他自同构群的映射称为 “表示”, 而不局限于线性空间的自同构群.

本页面讨论的是 “抽象”, 也就是离散的群的表示. 拓扑群和 Lie 群会要求表示在有非平凡的拓扑结构的对象 (如 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$) 上, 且相应的群同态是连续映射. 相应的表示论的研究方法会有一定区别.

1定义

定义 1.1 (群表示). $G$ 是群, $k$ 是域. $\mathbf{G}$ 在 $\mathbf{k}$ 上的表示, 或称 $\mathbf{G}$ 的 $\mathbf{k}$-表示, 指的是 $k$-线性空间 $V$, 附带同态 $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$. 等价地, $G$ 在 $k$ 上的表示相当于群环 $k[G]$ 的左模. 同态 $G\to \mathrm{GL}(V)$ 也可看成 $k$-线性的群作用 $G\times V\to V$. 于是对 $g\in G$, $v\in V$, 常与群作用类似, 将作用所得元素记作 $gv$.

群表示拥有各种线性代数构造.

定义 1.2 (子表示与商表示). $V$ 是 $G$ 的表示. $V$ 的子表示指的是在 $G$ 作用下稳定的线性子空间. 换言之, 子空间 $W\subseteq V$ 是子表示, 意思是对任意 $g\in G$ 都有 $gW=W$. 对于子表示 $W\subseteq V$, 显然商空间 $V/W$ 上有自然的 $G$ 作用, 称为商表示.

定义 1.3 (同态与同构). $U,V$ 是 $G$ 的表示. $U$ 到 $V$ 的 $\mathbf{G}$-同态指的是保持 $G$-作用的线性映射. 同构指的是可逆的同态.

定义 1.4 (群表示范畴). 群 $G$ 的所有表示与其间 $G$-同态构成一范畴, 称为群表示范畴, 记为 ${\mathsf{Rep}}_G$ 或 $\mathsf{Rep}(G)$.

定义 1.5 (张量积与同态表示). $U,V$ 是 $G$ 的 $k$-表示. 则 $U{\otimes }_{k}V$ 与 ${\mathrm{Hom}}_k(U,V)$ 依照$$g(u\otimes v)=gu\otimes gv,(gf)(u)=g(f(g^{-1}u))$$自然成为 $G$-表示, 称为表示的张量积与同态表示. 依定义, $U$ 到 $V$ 的 $G$-同态正是同态 ${\mathrm{Hom}}_k(U,V)$ 的 $G$-不动元.

定义 1.6 (对偶表示). 在上面的定义中, 取 $V$ 为平凡表示 $k$ (即群中所有元素在 $V$ 上作用都为恒等映射), 此时 ${\mathrm{Hom}}_k(U,k)$ 称为对偶表示, 通常记为 $U^{\ast }$ 或 $U^{\vee }$.

注 1.7. 存在自然的张量、同态、对偶表示是群表示的特殊性质, 其本质上是因为群代数 $k[G]$ 有 Hopf 代数结构. Lie 代数的表示也可以进行这些操作, 但一般的结合代数的表示则不能进行这些操作.

下述诱导表示和限制表示提供了从一个群的表示得到其它群的表示的方法.

定义 1.8 (限制表示). 对群同态 $H\to G$, 群 $G$ 的表示 $V$ 在 $H$ 上的限制表示, 记为 ${\mathrm{Res}}_G^{H}V$, 为相同的向量空间 $V$, 赋予同态 $G\to \mathrm{GL}(V)$ 在 $H$ 上的限制. 等价地, 这是通过自然的映射 $k[H]\to k[G]$ 把 $V$ 视为 $k[H]$-模.

此构造定义了函子$${\mathrm{Res}}_G^H:{\mathsf{Rep}}_G\to {\mathsf{Rep}}_H.$$

定义 1.9 (诱导表示). 对群同态 $H\to G$, 群 $H$ 的表示 $V$ 在 $G$ 上的诱导表示有两种: $k[G]{\otimes }_{k[H]}V$ 和 ${\mathrm{Hom}}_{k[H]}(k[G],V)$, 记为 ${\mathrm{Ind}}_H^{G}V$. 在 $H$ 在 $G$ 中的像在 $G$ 中指数有限时, 二者同构.

此二构造定义了函子$${\mathrm{Ind}}_H^G:{\mathsf{Rep}}_H\to {\mathsf{Rep}}_G,$$前者为上述 ${\mathrm{Res}}_G^H$ 之左伴随, 后者为其右伴随.

2例子

•	$0$ 空间附带平凡同态是一表示, 称为零表示.
•	一维空间 $k$ 附带平凡同态 $G\to \mathrm{GL}(k)$ 是一表示, 称为平凡表示.
•	对群 $G$ 及域 $k$, 考虑群环$$k[G]=\underset{g\in G}{⨁}k{e}_g$$本身, 即以 $G$ 为基的 $k$-线性空间, 作用为 $g{e}_h=e_{gh}$. 不难验证这是一表示, 称为正则表示.
•	更一般地, 群作用 $G\curvearrowright S$ 在以 $S$ 为基的线性空间上给出群表示.

3性质

单与半单是表示的最基本的性质.

定义 3.1. 不可约表示指的是没有非零真子表示的非零表示, 也称为单表示. 半单表示指的是单表示的直和, 也称完全可约表示.

注 3.2. 如将表示视为群环上的模, 则不难发现以上概念分别对应单模与半单模.

有限群的表示, 在域特征不整除群的阶时, 具有较简单的结构. 下面的 Maschke 定理表明此时所有表示都是半单的. 这种情况下的理论称为常表示论.

定理 3.3 (Maschke). 设 $G$ 是有限群, $k$ 是域, $\mathrm{char}k\nmid \#G$. 则 $G$ 的任一 $k$-表示都半单. 如 $k$ 代数闭, 正则表示有分解$$k[G]=\underset{V不可约}{⨁}{V}^{\dim V}.$$换言之, 所有的不可约表示都出现在正则表示中, 且出现次数等于维数.

4相关概念

术语翻译

群表示 • 英文 group representation • 德文 Gruppendarstellung • 法文 représentation de groupe • 拉丁文 repraesentatio catervae • 古希腊文 ἀναπαραστάσις ὁμαδός