换位子群

换位子群 (或导群), 常记为 , 是由 中所有换位子, 即形如的元素, 所生成子群.

注意到 , 该元素刻画了 不交换的程度. 若 , 则该元素就是单位元. 因此, 大致来说, 群的换位子群也刻画了该群不交换的程度. 例如, Abel 群的换位子群是平凡群.

换位子群一定是正规子群. 商群 Abel 群, 称为 交换化, 因为它是某种意义上与 最接近的 Abel 群.

1定义

定义 1.1 (换位子群).. 元素 换位子是指元素换位子群 是由 中所有换位子生成子群.

注意, 所有换位子一般并不构成子群, 而这里考虑的是它们生成的子群. 故一般而言, 换位子群的元素能写成多个换位子之积, 但不一定能写成单个换位子.

2例子

Abel 群, 则 平凡群.

置换群 的换位子群是交错群 .

, 一般线性群 的换位子群是特殊线性群 , 除了 以外.

3性质

商群 Abel 群. 是最小的满足这一性质的正规子群.

4相关概念

术语翻译

换位子群英文 commutator subgroup德文 Kommutatorgruppe (f)法文 groupe dérivé (m)