拓扑群

拓扑群是带有拓扑的群.

1定义

定义 1.1. 拓扑群是拓扑空间范畴中的群对象, 即拓扑群 $G$ 是群同时也是拓扑空间, 满足 $G$ 的乘法 $m:G\times G\to G$ 和逆 $i:G\to G$ 均是连续映射.

通常的拓扑空间的性质也用来描述拓扑群的性质, 例如

•	若拓扑群 $G$ 紧或局部紧, 则相应地称其为紧群或局部紧群.
•	拓扑群的 (开) 闭子群是作为它子群的 (开) 闭子空间.

2性质

以下罗列了拓扑群的基本性质

命题 2.1 (子群与商群). 拓扑群的开子群是闭子群; 拓扑群诱导它的闭子群自然的拓扑结构; 拓扑群诱导它的商群自然的拓扑结构.

命题 2.2 (分离性). 拓扑群若 ${\mathrm{T}}_0$ 则 ${\mathrm{T}}_{3.5}$. 此外, 包含原点的所有开集之交是闭正规子群, 商去此正规子群后, 剩下的拓扑群是 ${\mathrm{T}}_{3.5}$ 的.

(...)

3例子

•	任意赋予离散拓扑或平凡拓扑的群都是拓扑群.
•	$(\mathbb{R},+)$ 在通常拓扑下是拓扑群.
•	对任意交换环 $A$ 和它的理想 $I$, 对任意 $A$-模 $M$, $(M,+)$ 在 $I$ 进拓扑下构成拓扑群.

4相关概念

•	Lie 群
•	Peter–Weyl 定理
•	Pontryagin 对偶

术语翻译

拓扑群 • 英文 topological group • 德文 topologische Gruppe • 法文 groupe topologique