自由群

自由群指生成元之间除了群的定义中所要求的那些条件外, 没有其它约束条件的群.

1定义

定义 1.1. 对集合 , 其生成的自由群

其下集合这里 是一个可以为空的字符串. 而 是由下述关系生成的等价关系: 这里 是形如上述的字符串.

乘法

单位元 为空字符串.

逆元

为有限数 , 也被记为 , 即 个元素生成的自由群.

注 1.2. 的对应给出了从集合范畴群范畴函子.

2性质

命题 2.1. 函子 是遗忘函子 的左伴随函子.

自由群可以简单地使用基本群实现.

命题 2.2. 生成的自由群是 中元素个数个圆环 的一点并的基本群:

由此可以使用代数拓扑的手段以研究自由群以及其相关物. 例如:

命题 2.3. 自由群的子群是自由群. 对有限情况, 阶子群同构于 .

证明.覆叠空间理论, 子群对应覆叠空间的基本群, 圆环的一点并为一维 CW 复形, 其覆叠空间仍为一维 CW 复形, 因此基本群仍为自由群.

对有限情形, 的一点并 基本群. 由覆叠空间理论, 的指数为 的子群对应 重覆叠的基本群, 它由 个点和 条边构成. 此一空间同伦等价于 个圆环的一点并, 其基本群为 .

命题 2.4. 自由群的 Abel 化是 自由 Abel 群.

3例子

空集生成的自由群为平凡群.

单点集生成的自由群整数群 .

4相关概念

自由 Abel 群

基本群

生成 (群论)

自由积

术语翻译

自由群英文 free group德文 freie Gruppe法文 groupe libre拉丁文 caterva libera古希腊文 ἐλευθέρα ὁμάς