有限群常表示论

有限群常表示论, 简称常表示论指的是有限群 $G$ 在 $k$ -向量空间上的表示论, 其中 $k$ 的特征不整除 $G$ 的阶数. 此时所有群表示都半单, 而较易研究.

以下列出此一理论中的重要结论, 具体证明见相应条目.

1代数闭域情形
半单性
特征标理论
诱导表示
例子
2一般域情形
3参考文献
4相关概念

1代数闭域情形

以下设 $G$ 是有限群, $k$ 是代数闭域, 且域 $k$ 的特征不整除 $G$ 的阶数.

半单性

如下的 Maschke 定理表明了常表示论中所有表示都是半单的.

定理 1.1 (Maschke). $G$ 的任一 $k$ -表示都半单. 等价地说, 群代数 $k [G]$ 是半单代数.

从而由 Artin–Wedderburn 定理, 群代数 $k [G]$ 就是若干矩阵代数的直积. 每个矩阵代数对应于一个不可约表示.

特征标理论

参见: 特征标

由于有半单性作为基础, 特征标理论是研究群表示论的有力工具. 它将表示对应于群上的函数, 而后者有时更易研究.

定义 1.2 (特征标). 群 $G$ 的表示 $(V, ρ)$ 的特征标是函数 $χ_{V} g : G \to k \mapsto tr (ρ (g)) .$

特征标理论的主要结论如下, 它给出了从表示到群上函数的对应.

定理 1.3. 特征标诱导的如下环同构: $K_{0} (Rep_{k} (G)) \otimes_{Z} k \to C (G, k)^{G}$ 这里 $K_{0}$ 一项表示 $G$ 的有限维 $k$ -表示构成的范畴的 $K_{0}$ 群, 它在表示的张量积下成为环; 后者表示在 $G$ -共轭作用下不变, 取值在 $k$ 中的函数, 它在逐点加法和乘法下成为环.

在两空间上还可以自然地赋予对称双线性型. 前者上的对称双线性型为 $(V_{1}, V_{2}) \mapsto dim Hom_{G} (V_{1}, V_{2}),$ 后者则为 $(χ_{1}, χ_{2}) \mapsto \frac{1}{∣ G ∣} g \in G \sum χ_{1} (g^{- 1}) χ_{2} (g) .$ 此环同构诱导对称双线性型之间的同构.

诱导表示

参见: Artin 定理; Brauer 定理

构造群表示的自然想法是使用它的子群表示的诱导表示. 下面一些定理则是这些想法的具体实现. 使用这些定理, 可以将群表示的计算化归到较简单的群.

定理 1.4 (Artin). 记号同上. 设 $X$ 是由 $G$ 的一些子群 $H$ 构成的集合, 则以下二条件等价:

•	对任意 $g \in G$ , 存在 $H \in X$ 和 $f \in G$ , 使得 $f g f^{- 1} \in H$ .
•	映射 $H \in X ⨁ Ind_{H}^{G} : H \in X ⨁ K_{0} (Rep_{k} (H)) \to K_{0} (Rep_{k} (G))$ 的余核有限.

特别地, 取 $X$ 为所有循环子群构成的集合, 则它满足第一个条件, 因此满足第二个条件.

定理 1.5. 记号同上. 设 $p$ 是固定的素数, 令 $X (p)$ 为 $G$ 的所有 $p$ -基础子群构成的集合, 则有 $H \in X (p) ⨁ Ind_{H}^{G} : H \in X (p) ⨁ K_{0} (Rep_{k} (H)) \to K_{0} (Rep_{k} (G))$ 的余核有限, 且阶与 $p$ 互素.

例子

参见: 置换群表示论; Deligne–Lusztig 理论

群表示的两个重要例子是置换群与 Lie 型群的表示论. 其中前者的结构 (如不可约表示、诱导表示、限制表示、特征标等) 可以用 Young 图这一组合对象很好地描述, 它也可以通过 Schur–Weyl 对偶与一般线性群的表示相联系. 后者通过 Deligne–Lusztig 理论可以用一些代数几何对象 (代数簇的 $ℓ$ 进上同调) 来描述.

2一般域情形

3参考文献

经典的教科书:

•	Jean-Pierre Serre (1977). Linear representations of finite groups. Graduate Texts in Mathematics 42. Springer New York.

4相关概念

•

约化群常表示论

术语翻译

常表示论 • 英文 ordinary representation theory • 法文 théorie des représentations ordinaire

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