半单代数

半单代数同时是一个半单环和域 $k$ 上的代数.

1定义

定义 1.1. 一个 $k$ 代数 $A$ 称为半单的, 若其作为环是半单的.

2有限维半单代数

设 $k$ 为代数闭域. 有限维代数的半单性有若干等价定义. 记 $\mathrm{Rad}(A):=\{a\in A:aV=0,\forall V\text{为}A\text{上左单模}\}$.

定理 2.1. 设 $A$ 是有限维代数, 则 $A$ 是半单的与下述任意一条等价

•	$\mathrm{Rad}(A)=0$.
•	$\dim A={\sum }_i(\dim V_i{)}^2$, 其中 $V_i$ 取遍 $A$ 的不可约表示的同构类.