Artin–Wedderburn 定理

Artin–Wedderburn 定理完全分类了半单环, 指出半单环都是除环上矩阵环的有限直积.

1定理与证明
2推论

1定理与证明

定理 1.1. $R$ 是半单环. 则存在正整数 $n$ , $d_{1}, \dots, d_{n}$ 以及除环 $D_{1}, \dots, D_{n}$ , 使得 $R ≅ i = 1 \prod n M_{d_{i}} (D_{i}) .$

以下证明中, 半单性采用左边的定义, 即左 $R$ -模都半单.

证明.

R

自己作为左

R

-模半单, 故存在一族单左理想

{L_{i}}_{i \in I}

,

R = i \in I ⨁ L_{i} .

记幺元

1

在

L_{i}

的投影为

e_{i}

, 则对于

r \in R

,

r = r 1

在

L_{i}

的投影就是

r e_{i}

, 于是

L_{i} = {r \in R ∣ r e_{i} = r}

. 所以如果

e_{i} = 0

, 则

L_{i} = 0

, 与

L_{i}

是单模矛盾; 故各个

e_{i}

都非零, 于是只有有限个

L_{i}

. 将其依同构分类, 可写

R ≅ i = 1 ⨁ n L_{i}^{d_{i}},

其中

L_{1}, \dots, L_{n}

互不同构. 此时由 Schur 引理,

E n d_{R} (R) ≅ i = 1 \prod n E n d_{R} (L_{i}^{d_{i}}) = i = 1 \prod n M_{d_{i}} (E n d_{R} (L_{i})) .

再由 Schur 引理

E n d_{R} (L_{i})

是除环, 取

D_{i}

为其反环; 则由于

E n d_{R} (R) = R^{o p}

, 即得

R ≅ i = 1 \prod n M_{d_{i}} (D_{i}) .

$□$

注 1.2. 有以上定理之后容易发现, $R$ 的不同构的单模 $L_{i}$ 无非就是 $D_{i}^{d_{i}}$ 作为 $M_{d_{i}} (D_{i})$ -模.

注 1.3. 这里的 $D_{i}$ 与 $d_{i}$ 在同构意义下唯一: 由以上证明, $D_{i}$ 就是 $R$ 那些单左理想 $L_{i}$ 的自同态环, 而 $d_{i}$ 就是 $dim_{D_{i}} (L_{i})$ .

2推论

半单环的定义并不对称, 但由 Artin–Wedderburn 定理立得:

推论 2.1. 左半单环和右半单环是一回事.

推论 2.2. $G$ 是有限群, $k$ 是代数闭域, 满足 $c h a r k ∤ # G$ . 则 $G$ 的诸不可约表示维数平方和为 $# G$ .

证明. 由 Maschke 定理,

k [G]

半单. 由于代数闭域上有限维除环只有其本身, 故 Artin–Wedderburn 定理推出

k [G] ≅ i = 1 \prod n M_{d_{i}} (k) .

由以上注 1.2,

d_{i}

就是不可约表示的维数, 计算上式两边在

k

上的维数即知

# G = i = 1 \sum n d_{i}^{2} .

$□$

术语翻译

Artin–Wedderburn 定理 • 英文 Artin–Wedderburn theorem

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