箭图

在非交换代数和表示论中, 箭图是一种基本概念, 是有向图的同义词. 它由一些顶点和其间的一些箭头构成. 例如, 下图就是一个箭图:

箭图表示是表示论中的重要概念. 箭图表示给箭图的每个顶点赋予一个向量空间, 给每个箭头赋予一个相应向量空间之间的线性映射. 由于箭图表示等价于该箭图的箭图代数的表示, 常常可以通过箭图而研究结合代数的表示论. 另一方面, 箭图表示模空间是代数几何研究中的重要对象, 是模空间理论的基本例子.

1定义

定义 1.1 (箭图). 箭图是指四元组 $Q=(V,E,s,t)$, 其中

•	$V$ 是集合, 其元素称为 $Q$ 的顶点.

•	$E$ 是集合, 其元素称为 $Q$ 的边或箭头.

•	$s,t:E\to V$ 是两个映射, 分别将每个箭头映到其起点、终点.

2相关构造

箭图表示

我们选定域 $k$.

定义 2.1 (箭图表示). 箭图 $Q=(V,E,s,t)$ 的箭图表示由以下信息构成:

•	对每个顶点 $v\in V$, 有一个 $k$-向量空间 $W_v$.

•	对每个箭头 $e\in E$, 有一个线性映射 $f_e:W_{s(e)}\to W_{t(e)}$.

等价地说, 箭图表示是从箭图的生成范畴到向量空间范畴的函子.

箭图代数

定义 2.2 (路径). 箭图 $Q=(V,E,s,t)$ 的路径是形如$$v_0\stackrel{e_1}{⟶}{v}_1\stackrel{e_2}{⟶}\cdots \stackrel{e_n}{⟶}{v}_n$$的一列箭头, 其中 $n\ge 0$, 并且 $v_i\in V$, $e_i\in E$.

定义 2.3. 箭图 $Q$ 在域 $k$ 上的箭图代数是以下定义的 $k$-结合代数 $k[Q]$. 作为 $k$-向量空间, 有$$k[Q]=\underset{\text{路径 }p}{⨁}k\cdot x_p,$$这里 $k\cdot x_p$ 是由元素 $x_p$ 生成的一维向量空间. 其乘法定义为$$x_p\cdot x_q=\{\begin{array}{ll}{x}_{pq},& p,q\text{ 可复合},\\ 0,& p,q\text{ 不可复合}.\end{array}$$这里, $p,q$ 可复合的意思是, $p$ 的最后一个顶点与 $q$ 的第一个顶点相同. 此时, $pq$ 表示将两条路径接起来得到的新路径.

命题 2.4. 箭图 $Q$ 的箭图表示与箭图代数 $k[Q]$ 的右模一一对应.

与范畴的联系

每个小范畴 $\mathcal{C}$ 都可视为一个箭图, 其顶点为所有对象, 而箭头为所有态射. 这一对应构造了从范畴的 $1$-范畴 $\mathsf{Cat}$ 到箭图范畴 $\mathsf{Quiv}$ 的遗忘函子.

该遗忘函子有左伴随 $F:\mathsf{Quiv}\to \mathsf{Cat}$. 对箭图 $Q$, 称范畴 $F(Q)$ 为 $Q$ 生成的自由范畴.

3相关概念

•	图、有向图
•	$2$-箭图、$n$-箭图

术语翻译

箭图 • 英文 quiver • 德文 Köcher (m) • 法文 carquois (m) • 日文 箙 (えびら) • 韩文 화살집