范畴的范畴

范畴的范畴, 常记为 $\mathsf{Cat}$, 大致是所有范畴构成的范畴. 直观的想法是, 定义该范畴如下:

•

对象: 所有范畴.

•	态射: 范畴间的函子.

但这一想法会遇到两个问题:

•	会遇到 Russell 悖论: 所有的集合不构成集合, 而构成真类, 因为它比所有集合都大, 从而不能是集合. 类似地, 假如所有的范畴构成范畴, 那么这个范畴就比所有范畴都大, 从而不能是范畴. 解决这一问题比较容易, 我们只考虑所有小范畴构成的范畴, 即可避免此问题.

•	在这样的定义下, 范畴等价的范畴不一定算是同构的, 只有严格同构的范畴才算是同构的. 类似地, 自然同构的函子不一定相等, 只有严格相等的函子才算是相等. 虽然这确实良好定义, 但和范畴论中的一个重要观点, 即等价原理, 相悖. 我们希望将自然同构的函子看成相同的, 而将等价的范畴也看成是相同的.

如上所述, 解决第一个问题并不困难. 而第二个问题的本质在于, 范畴这一数学对象实际上有两种不同的理解方式. 这两种方式导致我们在考虑范畴的范畴时, 需要进行不同的构造. 这两种观点可以简述如下:

•	将范畴看成一种代数结构. 也就是说, 两个范畴需要严格同构, 才能视为相同的范畴.

•	更常见的观点是, 按照等价原理, 将等价的范畴都视为相同的.

事实上, 可以说这两种观点描述的是不同的数学对象. 虽然它们都是范畴, 它们的定义相同, 但两者在两个对象何时同构这一点上并不吻合. 比如说, 要是我们定义一种新的 “拓扑空间”, 但不要求它们之间的映射连续, 并且只要两个拓扑空间之间存在可逆但不一定连续的映射, 就说它们相同, 那么, 这样的数学对象其实应该称为集合, 而非拓扑空间.

因此, 我们可以将上述两种观点下的范畴分别成为 “严格范畴” 和 “范畴”. 本文开头所描述的实际上是所有 “严格范畴” 构成的范畴. 需要注意 “严格范畴” 并不是通用的术语, 文献中也常常并不将这两种概念加以区分.

但若要定义 “范畴” 的范畴, 而非 “严格范畴” 的范畴, 则本文开头的描述就不再适用. 我们想把自然同构的函子、范畴等价的范畴都视为相同的. 事实上, 这一问题揭露了以下重要的事实:

•	范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 本质上是个 $2$-范畴.

也就是说, 在 $\mathsf{Cat}$ 中, 除了有对象 (即范畴) 和态射 (即函子), 还有态射间的态射, 即函子间的自然变换. 这说明 $\mathsf{Cat}$ 比普通的范畴具有更丰富的结构.

事实上, 在高阶范畴论中, 所有 $n$-范畴构成一个 $(n+1)$-范畴. 因此, 作为特例, 所有普通范畴, 即 $1$-范畴, 构成一个 $2$-范畴.

我们提到 “范畴的范畴” 时, 除非特别说明, 总是指 $2$-范畴.

1定义

作为 $1$-范畴

定义 1.1 (范畴的 $1$-范畴). 范畴的 $1$-范畴, 或者说严格范畴的范畴, 是以下定义的范畴 $\mathsf{Cat}$:

•	其对象为所有小范畴.

•	其态射为范畴间的函子.

在该范畴中, 只有严格相等的函子才算是相等; 只有严格同构的范畴才算是同构的.

作为 $2$-范畴

定义 1.2 (范畴的范畴). 范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 是以下定义的 $2$-范畴:

•	其对象为所有小范畴.

•	其 $1$-态射为范畴间的函子.

•	其 $2$-态射为函子间的自然变换.

上述后两条实际上是说:

•	对小范畴 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 而言, 态射空间 $\mathsf{Cat}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 是函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$.

2相关概念

术语翻译

范畴的范畴 • 英文 category of categories • 德文 Kategorie der Kategorien (f) • 法文 catégorie des catégories (f)