纤维范畴

在范畴论中, 纤维范畴 (也称为 Grothendieck 纤维化) 是范畴的一种纤维化, 是指形如$$p:\mathcal{E}⟶\mathcal{C}$$的函子, 满足以下性质: 对 $x\in \mathcal{C}$, 以 ${\mathcal{E}}_x=p^{-1}(x)$ 记该函子的纤维. 则 $\mathcal{C}$ 中的任何态射 $f:x\to y$ 都能以某种方式诱导纤维之间的态射:$$\left(x\stackrel{f}{\to }y\right)\stackrel{\text{诱导}}{\Rightarrow }\left({\mathcal{E}}_y\stackrel{f^{\ast }}{\to }{\mathcal{E}}_x\right).$$这种情况在数学中时常出现. 例如, 在代数几何中, 对概形 $X$, 可以考虑其拟凝聚层范畴 $\mathsf{QCoh}(X)$. 则概形态射诱导拟凝聚层范畴间的函子:$$\left(X\stackrel{f}{\to }Y\right)\stackrel{\text{诱导}}{\Rightarrow }(\mathsf{QCoh}(Y)\stackrel{f^{\ast }}{\to }\mathsf{QCoh}(X)).$$这里, 我们将 $\mathcal{E}$ 取为所有 $\mathsf{QCoh}(X)$ 拼起来得到的巨大的范畴, 其中 $X$ 取遍所有概形, 这样 $\mathcal{E}\to \mathsf{Sch}$ 的纤维就给出了各个 $\mathsf{QCoh}(X)$, 这里 $\mathsf{Sch}$ 是概形范畴.

注意到上述直观和函子的概念十分相似: 我们大概能得到一个 “函子”$$\begin{array}{rl}F:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}& ⟶\mathsf{Cat},\\ x& ⟼{\mathcal{E}}_x,\end{array}$$其中 $\mathsf{Cat}$ 是范畴的范畴. 但问题是, $\mathsf{Cat}$ 是个 $2$-范畴, 因此普通的函子的概念并不适用. 在代数几何的例子中, 我们也能看出这个问题:

•	考虑概形态射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$. 则我们有函子间的自然同构 $(g\circ f{)}^{\ast }\simeq f^{\ast }\circ g^{\ast }$, 但这并不是函子的严格相等. 因此, 上述 $F$ 并不是通常意义的函子.

这个问题有两种解决方法:

•	使用更高级的 $2$-函子的概念, 因为 $F$ 确实是个 $2$-函子.

•	使用纤维范畴作为这一概念的替代. 这样, 就可以避免 $2$-范畴论而谈论这一类现象.

这即是纤维范畴这一概念的最初动机. 例如, 通过纤维范畴可以绕过 $2$-范畴论而定义叠.

上述的纤维范畴与 $2$-函子之间的对应关系称为 Grothendieck 构造, 也就是指$$\{\mathcal{C}\text{ 上的纤维范畴}\}⟺\{2\text{-函子 }{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}\}.$$

上述构造关于 $\mathcal{C}$ 的对象是反变的, 也就是造出了从 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}$ 出发的 $2$-函子. 我们也可以考虑协变的版本, 对应的概念称为异纤维范畴. 另外, 有时也考虑纤维为群胚的纤维范畴, 称为群胚纤维范畴、群胚异纤维范畴.

1定义

定义 1.1 ($p$-拉回). 设 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 为范畴间的函子. 则 $\mathcal{E}$ 中态射 $f:x\to y$ 称为 $\mathbf{p}$-拉回, 如果有 “拉回方块” $$xyp(x)p(y)\text{ .}f┌p(f)$$准确地说, 态射 $f$ 具有以下万有性质: 对任何实线图表$$wxyp(w)p(x)p(y)\text{ ,}g\exists !\tilde{h}fhp(g)p(f)$$存在唯一的态射 $\tilde{h}:w\to x$, 使得 $f\circ \tilde{h}=g$ 且 $p(\tilde{h})=h$.

定义 1.2 (纤维范畴). 函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ 称为纤维范畴, 如果定义 1.1 中的 “拉回方块” 都存在: $$x{y}^{\prime }ya⟹x^{\prime }x{y}^{\prime }y\text{ .}\tilde{a}┌a$$准确地说, 对任何 $x\in \mathcal{E}$ 和 $\mathcal{C}$ 中任何态射 $a:y^{\prime }\to y$, 其中 $y^{\prime }=p(x)$, 存在 $\mathcal{E}$ 中态射 $\tilde{a}:x^{\prime }\to x$, 使得 $\tilde{a}$ 是 $p$-拉回 (定义 1.1), 并且 $p(\tilde{a})=a$.

此时, 我们通常称 $\mathcal{E}$ 是 $\mathcal{C}$ 上的纤维范畴.

注 1.3 ($p$-弱拉回). 在定义 1.1 中, 若另要求 $h$ 只能取为恒同态射 $1_{p(x)}$, 即仅考虑形如$$wxyp(x)p(y)\text{,}g\exists !\tilde{h}fp(f)=p(g)$$的图表, 则满足相应性质的态射 $f$ 称为 $\mathbf{p}$-弱拉回. 这是 Grothendieck 对 $p$-拉回的原始定义, 但现代的惯例是使用定义 1.1. 在纤维范畴的定义 1.2 中, 可以将 $p$-拉回的存在性替换为以下两条性质:

•	$p$-弱拉回都存在.

•	$p$-弱拉回的复合仍是 $p$-弱拉回.

则这样的定义等价于定义 1.2, 且在纤维范畴中, $p$-弱拉回等价于 $p$-拉回.

2例子

•	恒同函子都是纤维范畴; 形如 $\varnothing \to \mathcal{C}$ 的函子都是纤维范畴; 形如 $\mathcal{E}\to \ast$ 的函子都是纤维范畴.

•

记 $\mathsf{QCoh}$ 为如下范畴: 其对象为二元组 $(X,\mathcal{F})$, 其中 $X$ 为概形, $\mathcal{F}$ 为 $X$ 上拟凝聚层. 其态射 $(X,\mathcal{F})\to (Y,\mathcal{G})$ 为二元组 $(f,\alpha )$, 其中 $f:X\to Y$ 为概形态射, $\alpha :\mathcal{F}\to f^{\ast }\mathcal{G}$ 为 $X$ 上拟凝聚层的态射. 则遗忘函子 $\mathsf{QCoh}\to \mathsf{Sch}$ 是纤维范畴, 其中 $\mathsf{Sch}$ 是概形范畴. 这也就是开头提到的例子.

•	若 $\mathcal{C}$ 具有拉回, 则箭头范畴 ${\mathcal{C}}^I$ 是 $\mathcal{C}$ 上的纤维范畴, 这里函子 $p:{\mathcal{C}}^I\to \mathcal{C}$ 将箭头 $f:x\to y$ 映到 $y$. 该纤维范畴在 $y\in \mathcal{C}$ 的纤维是俯范畴 ${\mathcal{C}}_{/y}$.

•	谓词范畴和二元谓词范畴到集合范畴的遗忘函子都是纤维范畴.

3性质

•	若 $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是纤维范畴, $\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 是纤维范畴, 则复合函子 $\mathcal{C}\to \mathcal{E}$ 也是纤维范畴. 注意到, 使用纤维范畴比使用 $2$-函子能更直接地描述这一事实.

•	对任何函子 $p:\mathcal{E}\to \mathcal{C}$ (不必是纤维范畴), $\mathcal{E}$ 中的同构都是 $p$-拉回 (定义 1.1); $p$-拉回的复合仍是 $p$-拉回.

4相关概念

•	纤维化
•	异纤维范畴、、群胚异纤维范畴
•	推出纤维化、拉回纤维化
•	依值类型论、概括范畴

术语翻译

纤维范畴 • 英文 fibred category • 美式英文 fibered category • 法文 catégorie fibrée (f)

$p$-拉回 • 英文 $p$-cartesian morphism • 法文 morphisme $p$-cartésien (m)

$p$-弱拉回 • 英文 weak $p$-cartesian morphism