像 (范畴论)

在范畴论中, 态射的像是集合间映射的像在一般范畴中的推广.

具体地说, 我们用如下万有性质来定义态射的像: 态射 $f:A\to B$ 的像将其分解为两个态射的复合 $A\stackrel{e}{\to }\mathrm{im}f\stackrel{m}{\hookrightarrow }B$, 其中 $m$ 为单态射, 并且 $\mathrm{im}f$ 需要是所有可能的分解中最小的.

像的对偶是余像.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 为范畴, $\mathcal{M}$ 为 $\mathcal{C}$ 中一族态射. 例如, 可取为 $\mathcal{C}$ 中所有的单态射.

对态射 $f:A\to B$, 如果存在 $f$ 的分解 $A\stackrel{e}{\to }\mathrm{im}f\stackrel{m}{\to }B$, 其中 $m\in \mathcal{M}$, 并且对于任何其它这样的分解 $A\stackrel{e^{\prime }}{\to }C\stackrel{m^{\prime }}{\to }B$, 都有唯一的态射 $u$ 使得下图交换: $$\mathrm{im}fABCmue{e}^{\prime }{m}^{\prime }$$则称 $\mathrm{im}f$ (配备上态射 $e,m$) 为 $f$ 的 $\mathcal{M}$-像.

当 $\mathcal{M}$ 取为所有单态射构成的类时, $\mathcal{M}$-像直接称为像.

除了取 $\mathcal{M}$ 为所有的单态射外, 还经常取其为所有正则单态射, 得到的是正则像, 在一些文献中也直接称为像. 常将 $\mathcal{M}$ 取为单态射构成的类的子类, 此时定义中的唯一性可以去掉.

2性质

定理 2.1. 在范畴中有相关极限时, $f:A\to B$ 的正则像可以构造为推出 ${\pi }_1,{\pi }_2:B\rightrightarrows A\bigsqcup _{B}A$ 的等子 $m:\mathrm{im}f\to B$.

证明.

证明. 首先需要构造态射 $e:A\to \mathrm{im}f$. 由推出的性质, ${\pi }_1\circ f={\pi }_2\circ f$. 因此由等子的性质, 存在唯一的 $e:A\to \mathrm{im}f$ 使得 $e\circ m=f$.

其次需要证明泛性质. 对于任何分解 $A\stackrel{e^{\prime }}{\to }C\stackrel{m^{\prime }}{\to }B$, 使得 $m^{\prime }$ 是正则单态射, 由定义存在 $p_1,p_2:B\rightrightarrows D$ 使得 $m^{\prime }$ 是它们的等子. 因此 $p_1\circ m^{\prime }=p_2\circ m^{\prime }$, 进而 $p_i\circ (m^{\prime }\circ e^{\prime })=p_i\circ f$ 相等. 根据推出的性质有唯一的态射 $u:A\bigsqcup _{B}A\to D$ 使得 $u\circ {\pi }_i=p_i$. 最后得到 ${\pi }_i\circ m\circ u={\pi }_i\circ p_i$ 相等, 从而由等子的性质得到存在唯一的 $v:\mathrm{im}f\to C$, 即 $\mathrm{im}f\subseteq C$, 满足条件.

$\square$

这在 [李文威 2023] 中直接作为正则像的定义.

3例子

4参考文献

•	李文威 (2023). 代数学方法: 线性代数. (pdf)

术语翻译

像 • 英文 image • 德文 Bild (n) • 法文 image (f) • 拉丁文 imago (f) • 古希腊文 εἰκών (f)