内范畴

范畴 $\mathcal{C}$ 中的内范畴是指一个类似范畴的结构, 但其对象、态射构成的空间都是 $\mathcal{C}$ 中的对象. 例如, 集合范畴中的内范畴就是小范畴; Lie 群胚可以看成光滑流形范畴中的内群胚.

内范畴、内群胚的概念有时也称为范畴对象、群胚对象.

1定义

内范畴

定义 1.1 (内范畴). 设 $\mathcal{C}$ 为具有纤维积的范畴. $\mathcal{C}$ 中的内范畴是六元组 $X=(X_0,X_1,s,t,e,m)$, 其中

•	$X_0,X_1$ 是 $\mathcal{C}$ 中对象, 分别代表 $X$ 的对象和态射构成的空间.
•	$s,t:X_1\to X_0$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射, 直观是将态射映到其起点和终点.
•	$e:X_0\to X_1$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射, 直观是将对象映到其恒同态射.
•	$m:X_1{\times }_{s,X_0,t}{X}_1\to X_1$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射, 刻画态射的复合, 其中 $X_1{\times }_{s,X_0,t}{X}_1$ 是以下的 $\mathcal{C}$ 中纤维积: $$X_1{\times }_{s,X_0,t}{X}_1{X}_1{X}_1{X}_0\text{ .}{p}_2{p}_1┌ts$$

它们满足以下交换图表, 它们也就是正常的范畴应该满足的性质.

•	恒同态射是从自身到自身的: $$X_1{X}_0{X}_0{X}_1\text{ .}seet$$
•	复合态射应该有正确的起点和终点: $$X_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{X}_1{X}_0\text{ ,}m{p}_{1}tt{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{X}_1{X}_0\text{ ,}m{p}_{2}ss$$其中 $X_1{\times }_{X_0}{X}_1$ 是 $X_1{\times }_{s,X_0,t}{X}_1$ 的简写.
•	复合满足结合律: $$X_1{\times }_{X_0}{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1\text{ .}(m,1)(1,m)mm$$
•	复合满足单位律: $$X_0{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{X}_1{\times }_{X_0}{X}_0{X}_1\text{ .}(e,1)m(1,e)$$

内群胚

内群胚是群胚的推广, 是态射都可逆的内范畴.

定义 1.2 (内群胚). 设 $\mathcal{C}$ 为具有纤维积的范畴. $\mathcal{C}$ 中的内群胚是七元组 $X=(X_0,X_1,s,t,e,m,i)$, 其中

•	$(X_0,X_1,s,t,e,m)$ 是 $\mathcal{C}$ 中的内范畴 (定义 1.1).
•	$i:X_1\to X_1$ 是 $\mathcal{C}$ 中态射, 代表将态射取逆态射的操作.

它们满足以下交换图表.

•	逆态射应该有正确的起点和终点: $$X_0{X}_1{X}_1{X}_0\text{ .}stits$$
•	逆态射与原来态射复合等于恒同态射: $$X_1{X}_0{X}_1{X}_1{X}_1{\times }_{t,X_0,t}{X}_1{X}_1{\times }_{s,X_0,t}{X}_1{X}_1{\times }_{s,X_0,s}{X}_1\text{ ,}{\Delta }_{t}se{\Delta }_{s}t(i,1)m(1,i)$$其中 ${\Delta }_s$ 和 ${\Delta }_t$ 是相应的对角态射.

内函子

内函子是内范畴之间的函子.

定义 1.3 (内函子). 设 $\mathcal{C}$ 为具有纤维积的范畴, 设 $X=(X_0,X_1,s_X,t_X,e_X,m_X)$ 和 $Y=(Y_0,Y_1,s_Y,t_Y,e_Y,m_Y)$ 是 $\mathcal{C}$ 中的两个内范畴 (定义 1.1). 则从 $X$ 到 $Y$ 的内函子是二元组 $F=(F_0,F_1)$, 其中 $F_0:X_0\to Y_0$ 和 $F_1:X_1\to Y_1$ 是 $\mathcal{C}$ 中两个态射, 它们保持内范畴的四种结构映射: $$X_1{Y}_1{X}_0{Y}_0\text{ ,}{s}_X{F}_1{s}_Y{F}_0{X}_1{Y}_1{X}_0{Y}_0\text{ ,}{t}_X{F}_1{t}_Y{F}_0$$$$X_0{Y}_0{X}_1{Y}_1\text{ ,}{e}_X{F}_1{e}_Y{F}_0{X}_1{\times }_{X_0}{X}_1{Y}_1{\times }_{Y_0}{Y}_1{X}_1{Y}_1\text{ .}{m}_X(F_1,F_1)m_Y{F}_1$$

2例子

3相关概念

术语翻译

内范畴 • 英文 internal category • 德文 interne Kategorie (f) • 法文 catégorie interne (f) • 拉丁文 categoria interna (f) • 古希腊文 ἐσωτερικὴ κατηγορία (f)

内群胚 • 英文 internal category • 德文 internes Gruppoid (n) • 法文 groupoïde interne (m) • 拉丁文 catervoides internum (n) • 古希腊文 ἐσωτερικὸν ὁμαδοειδές (n)

内函子 • 英文 internal functor • 德文 interner Functor (m) • 法文 foncteur interne (m) • 拉丁文 functor internus (m) • 古希腊文 ἐσωτερικὸς συνατήτης (m)