对角态射

范畴 中的对象 , 其对角态射是形如的态射. 对角态射是对角映射范畴论中的推广.

1定义

定义 1.1 (对象的对角线).范畴 有有限, . 则 对角态射, 或称对角线, 指的是态射由以下图表唯一确定: 其中 是向各分量的投影.

定义 1.2 (态射的对角线).范畴 纤维积, 中态射. 则 对角态射, 或称对角线, 指的是态射由以下图表唯一确定: 态射 也常常记为 .

注 1.3. 映射 的对角线就是 作为俯范畴 的对象的对角线, 因为 中的二元积就是 中在 上的纤维积. 反之如 终对象 , 则对象 的对角线就是映射 的对角线.

2性质

本节中总是假设所需的纤维积存在.

命题 2.1. 对角态射总是单态射. 一个态射是单态射当且仅当其对角态射是同构.

证明.
证明. 注意往任一分量的投影都是对角态射的左逆, 立得对角态射总是单. 至于后一句话, 由于一个态射是单射 (同构) 当且仅当对任一对象 作用上去之后是集合单射 (同构), 而命题只涉及极限构造, 故作用 , 可化归到集合范畴. 此时具体写出元素, 结论便是显然的.

以下命题将对角线、乘积、纤维积三者联系起来. 它被 Ravi Vakil 称为 “魔法图表”.

命题 2.2. 是范畴, , 中态射. 则是拉回图表.

证明.
证明. 依定义, 一个图表是拉回当且仅当对任一 , 其在作用 之后是集合范畴的拉回. 而命题中所有东西都是极限, 都和 交换, 所以只需在集合范畴中验证. 这样由集合纤维积的定义命题显然.

以下元定理在代数几何中比较常用.

定理 2.3. 是范畴, 中态射的一个性质, 对复合基变换封闭. 中映射. 如复合态射 满足 , 对角线 也满足 , 则有映射 满足 .

证明. 分解为图像态射 和投影 的复合. 的基变换, 所以它满足 ; 对 中态射 , 用命题 2.2, 知 沿图表 的基变换, 所以它也满足 ; 所以它们的复合 满足 .

3无穷范畴中的对角线

(定义. 关于 -截断. 如有 则有 . 从而要求对角线满足某性质是更基本的要求.)

4相关概念

单态射

分离态射

术语翻译

对角态射英文 diagonal morphism德文 diagonaler Morphismus法文 morphisme diagonal拉丁文 morphismus diagonalis古希腊文 διαγώνιος μορφισμός