函子范畴

在范畴论中, 函子范畴是从某个范畴 $\mathcal{C}$ 到另一范畴 $\mathcal{D}$ 的所有函子构成的范畴, 记为 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$. 函子范畴中的态射是函子的自然变换, 同构是函子的自然同构.

例如, 若 $\mathcal{C}$ 是单点范畴, 得到的函子范畴就是 $\mathcal{D}$ 自身. 若 $\mathcal{C}$ 是形如 $I=(\bullet \to \bullet )$ 的范畴, 得到的函子范畴就是 $\mathcal{D}$ 的箭头范畴, 也就是 $\mathcal{D}$ 中所有 “箭头”$$x\stackrel{f}{⟶}y$$构成的范畴. 一般地, 若将 $\mathcal{C}$ 中的对象、态射画成点、箭头构成的图表, 则函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 的对象可以看作 $\mathcal{D}$ 中的 “$\mathcal{C}$ 形交换图”. 此时, 相应的函子范畴也称为图表范畴.

在 $2$-范畴的意义下, 函子范畴是范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的态射空间, 也是其中的幂对象.

1定义

定义 1.1 (函子范畴). 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为范畴. 定义其函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 如下:

•	对象: $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{D}$ 的函子.

•	态射: 函子间的自然变换.

2例子

•	若 $\mathcal{C}$ 为单点范畴, 则 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})\simeq \mathcal{D}$.

•	若令 $I=(\bullet \to \bullet )$, 则 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal{D})\simeq {\mathcal{D}}^I$ 是 $\mathcal{D}$ 的箭头范畴.

3性质

幺半结构

范畴 $\mathcal{C}$ 到自身的函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{C})$ 带有自然的幺半范畴结构 $(\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{C}),\circ ,1_{\mathcal{C}})$, 其中

•	张量积为函子的复合 $\circ$.

•	单位对象为恒同函子 $1_{\mathcal{C}}$.

该幺半范畴中的幺半对象称为 $\mathcal{C}$ 上的单子.

函子性

取函子范畴的操作是个 $2$-函子$$\mathsf{Fun}(-,-):{\mathsf{Cat}}^{\mathrm{op}}\times \mathsf{Cat}⟶\mathsf{Cat}.$$特别地, 函子范畴满足等价原理: 若 $\mathcal{C}$ 范畴等价于 ${\mathcal{C}}^{\prime }$, $\mathcal{D}$ 范畴等价于 ${\mathcal{D}}^{\prime }$, 则 $\mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D})$ 范畴等价于 $\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\prime },{\mathcal{D}}^{\prime })$.

4相关概念

术语翻译

函子范畴 • 英文 functor category • 德文 Funktorkategorie (f) • 法文 catégorie de foncteurs (f)