纤维化

在同伦论中, 纤维化是指空间之间的映射 $E \to B$ , 满足类似纤维丛的性质. 我们有以下类比:

•	纤维丛 $E \to B$ 的纤维都同构.

•	纤维化 $E \to B$ 的纤维都同伦等价. 确切地说, $B$ 的每个连通分支中所有点上的纤维都同伦等价.

简言之, 纤维化是同伦意义下的纤维丛. 例如:

•	所有纤维丛都是纤维化.

•	所有纤维都可缩, 且具有截面的映射是纤维化, 也称为平凡纤维化.

•	$\emptyset \to B$ 是纤维化, 因为其所有纤维都是 $\emptyset$ .

如此等等. 但需注意, 纤维化本身并不被映射的同伦保持. 例如, 考虑常值映射 $0 : R ↪ R$ . 虽然它同伦于 $R$ 上的恒同映射, 而后者是纤维化, 但前者并不是, 因为其纤维既有 $R$ 又有 $\emptyset$ , 而二者并不同伦等价.

有时, 我们还需要要求纤维化满足如下性质: 其纤维不仅要同伦等价, 还需要是性质较好的空间, 例如类似 CW 复形的空间. 对这类空间而言, 同伦等价的概念满足良好的性质. 但这具体是指哪类空间取决于纤维化的具体定义.

纤维化的具体定义取决于我们使用哪种空间. 例如, 拓扑空间、单纯集、范畴、 $\infty$ -范畴等都可以视为空间, 它们各自有纤维化的概念.

在同伦代数中, 我们可以在一般的范畴中谈论纤维化的概念, 即指定范畴中某些态射为纤维化, 要求其满足某些公理, 从而得到一些一般性质. 这类理论的典型例子是模型范畴的理论, 上面提到的具体例子都是其特例, 即都是某个模型范畴中的纤维化.

另外, 在正合范畴 (包括 Abel 范畴) 中, 也有纤维化的概念. Abel 范畴中的纤维化就是满态射.

1定义

如引言所述, 对不同类型的空间, 有不同的纤维化的概念. 此处列举若干种概念:

•	对拓扑空间而言, 有 Hurewicz 纤维化的概念. 这是一种比较基本的纤维化的概念, 定义为对形如 $X \times {0} \to X \times I$ 的映射满足右提升性质的映射, 其中 $X$ 为任意拓扑空间. 虽然拓扑学中有时使用 Hurewicz 纤维化, 但同伦论中通常采用下述 Serre 纤维化.

•	对拓扑空间, 有 Serre 纤维化的概念, 定义为对形如 $D^{n} \times {0} \to D^{n} \times I$ 的映射满足右提升性质的映射, 其中 $D^{n}$ 为 $n$ 维圆盘. 特别地, 所有 Hurewicz 纤维化都是 Serre 纤维化.

•	对单纯集, 有 Kan 纤维化的概念. Kan 纤维化类似拓扑空间的 Serre 纤维化, 其纤维都是 Kan 复形. 单纯集还有其它不同的纤维化的概念, 见下文.

•	对范畴而言, 有同构纤维化的概念. 范畴间 “同伦等价” 的概念是范畴等价, 因此, 对同构纤维化而言, 同构的对象具有范畴等价的纤维.

•	对范畴, 还有纤维范畴、异纤维范畴、群胚纤维范畴、群胚异纤维范畴的概念. 它们都是同构纤维化, 并要求底范畴 $B$ 中对象之间的态射诱导纤维间的函子.

•	对单纯集, 还有左纤维化、右纤维化、内纤维化的概念. 这些概念应用于拟范畴的理论, 分别是群胚异纤维范畴、群胚纤维范畴、同构纤维化的类比.

•	对标记单纯集, 有推出纤维化、拉回纤维化的概念, 分别是异纤维范畴、纤维范畴的类比.

在一般的设定下, 通常有下述例子.

•	所有纤维都可缩, 且具有截面的映射是纤维化, 也称为平凡纤维化.

•	$\emptyset \to B$ 是纤维化, 其中 $\emptyset$ 是空空间.

下面是一些更具体的例子.

•	对拓扑空间而言, 所有纤维丛都是纤维化.

•	Hopf 纤维化是著名的纤维化, 它事实上是纤维丛.

在多数情况下, 特别是对拓扑空间、单纯集的纤维化, 下述性质通常成立.

•	纤维化的纤维就是其同伦纤维.

•	有 Puppe 正合列.

术语翻译

纤维化 • 英文 fibration • 德文 Faserung (f) • 法文 fibration (f)