基本类

在代数拓扑中, $n$ 维连通、紧、定向流形 $X$ 的基本类是普通同调的元素$$[X]\in H_n(X;\mathbb{Z}),$$也就是 $X$ 自己所代表的奇异 $n$-圈在奇异同调中对应的元素.

在 Poincaré 对偶下, $H_n(X;\mathbb{Z})$ 等同于第 $0$ 阶普通上同调 $H^0(X;\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$. 此时, 基本类对应于上同调的单位元 $1\in H^0(X;\mathbb{Z})$, 从而是 $H_n(X;\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}$ 作为 Abel 群的两个生成元之一. 事实上, 这两个生成元对应了 $X$ 的不同定向: 若取相反的定向, 则基本类就会变成相反的元素.

基本类是流形上积分所需要的关键信息. 对上述流形 $X$ 上的 $n$ 阶微分形式 $\omega$, 积分$${\int }_X\omega \in \mathbb{R}$$也就是同调、上同调间的配对 $⟨[X],[\omega ]⟩$, 其中 $[\omega ]\in H^n(X;\mathbb{R})$ 是 $\omega$ 在 de Rham 上同调中对应的上同调类. 在这种观点下, 积分运算 ${\int }_X(-)$ 作为 $H^n(X;\mathbb{R})$ 上的线性函数等同于 $X$ 的基本类.

1相关概念

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虚拟基本类

术语翻译

基本类 • 英文 fundamental class • 德文 fundamentale Klasse (f) • 法文 classe fondamentale (f) • 日文 基本類 (きほんるい) • 韩文 기본류 (基本類)