虚拟基本类

在几何学中, 特别是导出代数几何、导出微分几何中, 虚拟基本类是基本类的推广. 基本类是对紧、定向的光滑流形定义的, 而虚拟基本类将其推广到不一定光滑的空间, 或更准确地说, 拟光滑的空间. 该构造是计数几何的基本工具.

构造虚拟基本类的初衷是为了定义 Gromov–Witten 不变量, 该不变量是某个通常不光滑的模空间的虚拟基本类.

虚拟基本类首先由李骏和田刚 [Li–Tian 1996] 定义, 该工作由之后 Behrend 等人的一系列文章优化, 例如 [Behrend 1997]、[Behrend–Fantechi 1997] 等.

虚拟基本类可以用来定义 Gromov–Witten 不变量和 Donaldson–Thomas 不变量. 一种类似虚拟基本类的构造也可以用来定义四维 Donaldson–Thomas 不变量.

1想法

首先回忆, 对紧、定向的光滑流形 $X$, 有基本类 $[X]\in H_{\bullet }(X;\mathbb{Z})$. 当 $X$ 不一定是光滑的空间 (不一定是流形) 时, 我们基于以下想法定义其虚拟基本类, 作为基本类的推广:

假设给定 $n$ 维紧、定向光滑流形 $Y$, 秩 $d$ 的定向光滑向量丛 $E\to Y$, 及其截面 $s:Y\to E$, 并考虑零截面 $0:Y\to E$. 我们将这两个截面的像之交记为 $X=s(Y)\cap 0(Y)$. 如果 $s(Y)$ 与 $0(Y)$ 横截相交, 则其交 $X$ 是 $(n-d)$ 维紧、光滑定向流形, 并且由 Thom 同构定理, 有$$[X]=[Y]\cap e(E),$$这里 $\cap$ 是帽积, 我们将其理解为同调类与某个上同调类相交, 而 $e(E)$ 是 Euler 类, 其由 Thom 同构定理中的 Thom 类而定义.

下面, 假设 $s(Y)$ 与 $0(Y)$ 不再横截相交. 相应地, 其交 $X$ 不再光滑. 然而, 我们仍然可以用上述公式来定义 $[X]$, 并称之为不光滑的空间 $X$ 的虚拟基本类.

这么做的一个问题是, $X$ 的虚拟基本类不仅取决于空间 $X$ 自身, 还取决于如何将 $X$ 写成某个向量丛截面的零点集. 解决该问题的办法是不仅考虑空间 $X$ 自身, 还考虑 $X$ 上的一个两项的向量丛链复形, 称为其切复形, 在文献中更常称之为障碍论, 定义为$$\left(\mathrm{T}Y{|}_X\stackrel{ds{|}_X}{⟶}E{|}_X\right),$$其中 $\mathrm{T}Y$ 是 $Y$ 的切丛, $ds$ 是 $s$ 的切映射. 此信息足以恢复出上面定义的虚拟基本类 $[X]$. 注意, 文献中的障碍论也常常指该复形的对偶复形.

在最一般的情形, 我们只要求给定空间 $X$ 以及上述两项链复形, 但不要求存在 $Y$ 使得 $X$ 能写成其上向量丛截面的零点集. 此时定义虚拟基本类的公式仍然有意义, 也能定义虚拟基本类 $[X]$. 直观来说, 我们在 $X$ 的局部上将其写成向量丛截面的零点集, 然后将这些局部信息粘接起来, 尽管这一说法的严格意义并不明显.

这种在局部上能写成向量丛截面的零点集的空间, 在导出微分几何、导出代数几何中称为拟光滑的空间. 因此, 我们说紧、定向的拟光滑空间都有虚拟基本类, 正如紧、定向的光滑流形都有基本类.

上述紧的性质不是必要的. 回忆对不一定紧的定向光滑流形 $X$, 在其 Borel–Moore 同调中也有基本类 $[X]\in H_{\bullet }^{\mathrm{BM}}(X;\mathbb{Z})$. 相应地, 对不一定紧的定向拟光滑空间 $X$, 在其 Borel–Moore 同调中也有虚拟基本类 $[X]\in H_{\bullet }^{\mathrm{BM}}(X;\mathbb{Z})$.

在代数几何中, 我们将上述想法限制到 $Y$ 为复流形、$E$ 为全纯向量丛的情形. 此时, Euler 类等于向量丛的最高阶陈类, 后者在代数几何中可以定义. 这一构造也可以进一步推广到复数域 $\mathbb{C}$ 以外的域, 但需使用周环来代替普通 Borel–Moore 同调.

该构造也可以推广到轨形, 及相应地, 代数几何中的 Deligne–Mumford 叠, 因为在光滑的情形, 我们已经知道如何定义基本类, 而上述过程告诉我们如何对拟光滑轨形、拟光滑 Deligne–Mumford 叠定义虚拟基本类.

2定义

在代数几何中

虚拟基本类最朴素的想法都来自于经典的相交理论, 也就是 Fulton 的形变法锥理论和局部化陈类, 见其书 [Fulton 1998]. 也就是如下模型:

例 2.1. 考虑纯 $n$ 维的代数概形 $X$ 和其上的秩 $e$ 向量丛 $E$, 给定一个其截面 $s$, 我们有$$Z(s)XXEi┌s0$$其中 $Z(s)$ 即为 $s$ 的零点. 我们定义局部化陈类为$$c_{\mathrm{loc}}(E,s):=0^{!}([X])=0^{\ast }(C_{Z(s)/X})\in {\mathrm{CH}}_{n-e}(Z(s))$$这里 $0^{!}([X])=0^{\ast }(C_{Z(s)/X})$ 即为如下操作: $$0^{!}:{\mathrm{CH}}_{\ast }(X)\stackrel{\mathrm{sp}}{\to }{\mathrm{CH}}_{\ast }(C_{Z(S)/X})\to {\mathrm{CH}}_{\ast }(N_{X/E}{|}_{Z(s)})\cong {\mathrm{CH}}_{\ast }(Z(s)),$$其中 $\mathrm{sp}$ 即为通过形变法锥得到的特化映射.

事实上这一系列操作几何上讲就是让截面合理的扰动形变到和零截面横截的地方.

而我们所考虑的模空间 (例如 Gromov–Witten 不变量需要的稳定映射的模空间, 或者三维 Calabi–丘流形的 Donaldson–Thomas 不变量需要的稳定层的模空间) 很多都是局部上可以写作上面的模型的样子, 我们需要做的就是发展一个整体的一般的理论来将局部模型粘起来. 我们主要需要如下推广:

•	对于 Fulton 理论, 其只定义了关于闭嵌入 $X\subset Y$ 的法锥和形变法锥理论, 我们需要对一般代数叠的 Deligne–Mumford 映射都需要定义法锥和形变法锥理论, 特别的, 对于模空间 $M\to \mathrm{Spec}\mathbb{C}$ 我们可以定义 “内蕴的” 法锥.

•	推广 Fulton 的局部化陈类我们要整体化他, 从而得到虚拟基本类.

我们在此只作一个简介, 不涉及很多细节, 我们考虑的都是域上一般代数叠的 Deligne–Mumford 映射 (也就是对角无分歧) , 读者若不熟悉一般代数叠的理论, 可以视作域上概形之间的映射.

定义 2.2. 对于 $f:X\to Y$, 我们定义内蕴法层为 ${\mathfrak{N}}_f:=\mathfrak{C}({\mathbb{L}}_f)$, 其中 ${\mathbb{L}}_f\in {\mathbf{D}}^{(-\infty ,0]}(X)$ 是相对余切复形, 对应的 Abel 锥叠为 $\mathfrak{C}({\mathbb{L}}_f):=h^1/h^0({\mathbb{L}}_f^{\vee })$. 后者为 $[E^1/E^0]$, 其中 ${\tau }^{[0,1]}({\mathbb{L}}_f^{\vee })=[E^0\to E^1]$.

用人话说, 局部的 (为了省事我们写成整体的) 我们可以有分拆 $f:X\subset Y^{\prime }\to Y$, 其中 $Y^{\prime }\to Y$ 光滑, 那么 ${\mathfrak{N}}_f=[N_{X/Y^{\prime }}/T_{Y^{\prime }/Y}{|}_X]$, 这是因为此时余切复形 (的截断) 为 $[I/I^2\to {\Omega }_{Y^{\prime }/Y}{|}_X]$.

定义 2.3. 验证作用不变性就会得到 ${\mathfrak{C}}_f=[C_{X/Y^{\prime }}/T_{Y^{\prime }/Y}{|}_X]$, 可以证明跟选取无关, 局部可以粘起来, 于是我们称其为内蕴法锥.

注意到如果 $f$ 就是闭嵌入, 则我们可以有平凡分拆 $f:X\subset Y\to Y$, 那么$${\mathfrak{C}}_f=[C_{X/Y}/T_{Y/Y}{|}_X]=C_{X/Y}\subset {\mathfrak{N}}_f=[N_{X/Y}/T_{Y/Y}{|}_X]=N_{X/Y},$$于是退化到 Fulton 的情况. 因此这是一个好的法锥的推广.

接下来考虑形变到法锥的推广:

定义 2.4. 我们要定义形变空间 $M_f^{\circ }\to {\mathbb{P}}^1$ 使得存在 $m:X\times {\mathbb{P}}^1\to M_f^{\circ }$ 使得 $m_{\ne 0}=f$ 且 $m_0=0_{{\mathfrak{C}}_f}:X\to {\mathfrak{C}}_f$, 如下:

1. 若 $f$ 为闭嵌入, 那么和 Fulton 一样, 只需定义$$M_f^{\circ }=M_f\backslash Y^{\prime },$$其中 $M_f:={\mathrm{Bl}}_{X\times \{0\}}(Y\times {\mathbb{P}}^1)$ 且 $Y^{\prime }:={\mathrm{Bl}}_{X\times \{0\}}(Y\times \{0\})$.

2. 若 $f$ 是代数空间之间的无分歧映射, 那么可以证明存在交换图$$X^{\prime }{Y}^{\prime }XY{f}^{\prime }f$$使得竖箭头为平展覆盖且 $f^{\prime }$ 是闭嵌入, 且 $X^{\prime },Y^{\prime }$ 为概形. 定义$$M_f^{\circ }:=[M_{X^{\prime }{\times }_X{X}^{\prime }/Y^{\prime }{\times }_Y{Y}^{\prime }}^{\circ }\rightrightarrows M_{X^{\prime }/Y^{\prime }}^{\circ }],$$此时 $X^{\prime }{\times }_X{X}^{\prime }\to Y^{\prime }{\times }_Y{Y}^{\prime }$ 闭嵌入.

3. 一般情况, 可以证明存在交换图$$X^{\prime }{Y}^{\prime }XY{f}^{\prime }f$$使得竖箭头为光滑覆盖且 $f^{\prime }$ 是闭嵌入, 且 $X^{\prime },Y^{\prime }$ 为概形. 定义$$M_f^{\circ }:=[M_{X^{\prime }{\times }_X{X}^{\prime }/Y^{\prime }{\times }_Y{Y}^{\prime }}^{\circ }\rightrightarrows M_{X^{\prime }/Y^{\prime }}^{\circ }],$$此时 $X^{\prime }{\times }_X{X}^{\prime }\to Y^{\prime }{\times }_Y{Y}^{\prime }$ 代数空间之间的无分歧映射.

因此我们可以类似的定义我们一般情况的特化映射 ${\mathrm{sp}}_f:{\mathrm{CH}}_{\ast }(Y)\to {\mathrm{CH}}_{\ast }({\mathfrak{C}}_f)$ 为填充如下图表的映射: 其中 $\zeta \ne 0$, 细节就此略去. 这些映射和构造都满足一系列和拉回推出的交换性, 包括基变换性质, 我们略去.

最后我们可以定义一般的虚拟基本类了, 在此之前, 我们先定义一个整体的 “向量丛的零点”, 也就是障碍理论:

定义 2.5. 代数叠的 Deligne–Mumford 映射 $f:X\to Y$ 的障碍理论为 ${\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{(-\infty ,0]}(X)$ 内的映射$$\varphi :\mathbb{F}\to L_f:={\tau }^{\ge -1}{\mathbb{L}}_f$$使得 $h^0(\varphi )$ 双射且 $h^{-1}(\varphi )$ 满射, 且 $\mathbb{F}$ 为 Tor-维数有界的完美复形. 我们称它是完美障碍理论, 如果 $\mathbb{F}$ 为 Tor-维数为 $[-1,0]$ 的完美复形.

此时 $h^0(\varphi )$ 双射且 $h^{-1}(\varphi )$ 满射这个条件等价于诱导锥叠映射 $\mathfrak{C}(L_f)\to \mathfrak{C}(\mathbb{F})$ 是闭嵌入, 完美是指 $\mathfrak{C}(\mathbb{F})$ 是向量丛锥叠. 因此:

定义 2.6. 考虑代数叠的 Deligne–Mumford 映射 $f:X\to Y$ 有完美障碍理论 $\varphi :\mathbb{F}\to L_f$, 且 $X$ 有仿射稳定化子 (为了向量丛的同伦性质) , 我们定义虚拟拉回为复合$$f_{\mathrm{vir}}^{!}:{\mathrm{CH}}_{\ast }(Y)\stackrel{{\mathrm{sp}}_f}{\to }{\mathrm{CH}}_{\ast }({\mathfrak{C}}_f)\stackrel{{\iota }_{\ast }}{\to }{\mathrm{CH}}_{\ast }(\mathfrak{C}(F))\stackrel{0^{！}}{\to }{\mathrm{CH}}_{\ast }(X).$$

如果 $X$ 是 $k$ 上的 Deligne–Mumford 叠且有完美障碍理论 $\varphi :\mathbb{F}\to L_{X/k}$, 则定义虚拟基本类为$$[X{]}_{\varphi }^{\mathrm{vir}}:=p_{\mathrm{vir}}^{!}[\mathrm{Spec}k],$$其中 $p:X\to \mathrm{Spec}k$ 为结构映射.

注意到这些局部上都是上面一开始的模型, 于是我们成功建立了理论.

3推广

•	[Khan] 将虚拟基本类的构造从 Deligne–Mumford 叠的情形推广到一般的 (导出) 代数叠, 该虚拟基本类定义在叠的母题 Borel–Moore 同调中. 然而, 这并未完全解决在一般代数叠上定义计数不变量的问题. 计数不变量通常定义为某种虚拟基本类与某个普通上同调类的配对, 而 Borel–Moore 同调无法与普通上同调相配对.

4参考文献

背景知识:

•	William Fulton (1998). Intersection theory. Springer.

构造:

•	Jun Li, Gang Tian (1996). “Virtual moduli cycles and Gromov–Witten invariants of algebraic varieties”. J. Amer. Math. Soc. 11 (1), 119–174.

•	K. Behrend (1997). “Gromov–Witten invariants in algebraic geometry”. Invent. Math. 127, 601–617.

•	K. Behrend, B. Fantechi (1997). “The intrinsic normal cone”. Invent. Math. 128, 45–88.

推广:

•	Adeel Khan. “Virtual fundamental classes of derived stacks I”. arXiv: 1909.01332.

5相关概念

术语翻译

虚拟基本类 • 英文 virtual fundamental classes