27 条直线

$27$ 条直线是代数几何中经典而美妙的结论, 说的是对任意代数闭域 $k$, ${\mathbf{P}}_k^3$ 中每个光滑三次曲面都恰有 $27$ 条直线, 即其中有 $27$ 个 ${\mathbf{P}}_k^1$. 例如对复数上的 Fermat 三次曲面$$x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3=0,$$其上 $27$ 条直线就形如$$x_0+\omega x_i=x_j+{\omega }^{\prime }{x}_k=0,$$其中 $\{i,j,k\}=\{1,2,3\}$, $\omega ,{\omega }^{\prime }\in \mathbb{C}$ 为 $1$ 的三次方根. 相比代数几何中更初级的计数结论如 Bézout 定理, 该结论的奇妙之处在于不会出现重点: 每个光滑三次曲面上出现的一定都是 $27$ 条互异、一重的直线.

此结论也是 Fano 概形 $F_1(X)$ 在 $X$ 为 ${\mathbf{P}}^3$ 中的三次曲面的特例. $X$ 取为其它代数簇时也可以得到有趣的计数结论. 例如 $X$ 取为 ${\mathbf{P}}^4$ 中的五次超曲面时, 它上面会有 2875 条直线.

1定理与证明

该定理最初由 Arthur Cayley 和 George Salmon 与 1849 年发现并证明. Cayley 证明了三次曲面上有有限条直线, Salmon 数出了数. 这里呈现的证明是现代的, 使用模空间的思想以及概形论的具体技术, 还用到了 Graßmann 概形上陈类的计算.

定理 1.1. 对任意代数闭域 $k$ 以及任意光滑三次曲面 $X\subset {\mathbf{P}}_k^3$, $X$ 上恰有 $27$ 条直线, 即有 $27$ 个闭浸入 ${\mathbf{P}}_k^1\hookrightarrow X$ 满足 ${\mathbf{P}}_k^1\subset {\mathbf{P}}_k^3$ 是直线.

为同时对所有代数闭域证明定理, 先在 $\mathbb{Z}$ 上做事; 没有下标的记号表示 $\mathbb{Z}$ 上的事物. 四元三次方程有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 个系数, 故三次曲面被 ${\mathbf{P}}^{19}$ 参数化. ${\mathbf{P}}^3$ 中的直线则被 Graßmann 概形 $\mathbf{G}(2,4)$ 参数化. 于是三次曲面和直线的有序对就被 ${\mathbf{P}}^{19}\times \mathbf{G}(2,4)$ 参数化. 在仿射坐标卡下写出方程, 不难发现 “直线在三次曲面上” 这一条件构成其中闭子概形, 记作 $Z\subset {\mathbf{P}}^{19}\times \mathbf{G}(2,4)$. 此外, 如固定一条直线考虑包含它的三次曲面, 以此直线为一条坐标轴做具体计算, 可以发现, 要求三次曲面过该直线, 相当于要求三次曲面的四个系数为 $0$. 换言之, 投影映射 $Z\to \mathbf{G}(2,4)$ 是 $\mathbf{G}(2,4)$ 上的 ${\mathbf{P}}^{15}$ 丛, 所以 $Z$ 是连通的 $\mathbb{Z}$ 上光滑概形, 相对维数为 $15+\dim \mathbf{G}(2,4)=19$. 为研究固定三次曲面上的直线, 需考察另一投影 $\pi :Z\to {\mathbf{P}}^{19}$. 这是在 $\mathbb{Z}$ 上光滑紧合的同维数概形之间的映射.

考虑光滑三次曲面构成的开子概形 $U\subset {\mathbf{P}}^{19}$, 令 $V={\pi }^{-1}(U)$. 则定理相当于说, 对任意代数闭域 $k$ 以及任意映射 $\mathrm{Spec}k\to U$, 其基变换到 $V$ 上之后是不多不少 $27$ 个点. 以下证明它实际上是 $27$ 个 $\mathrm{Spec}k$ 的无交并. 为此先证

引理 1.2. ${\pi }_U:V\to U$ 有限平展.

证明. 由上面的分析, $\pi$ 是同维数正则概形之间的紧合态射, 故 ${\pi }_U$ 亦然. 现如果证明了 ${\pi }_U$ 非分歧, 那么它至少拟有限, 于是由 Zariski 主定理它有限. 这样由奇迹平坦它就会平坦, 再加上非分歧就平展. 于是只需证非分歧.

非分歧可以在几何点上验证: 只要对任意代数闭域 $k$ 及映射 $[X]:\mathrm{Spec}k\to U$ 证明了其每个原像 $([X],[\ell ]):\mathrm{Spec}k\to V$ 在纤维 ${\pi }_U^{-1}([X])$ 中都是既约孤立点, 就有 ${\pi }_U$ 非分歧. 这里 $X$ 和 $\ell$ 表示对应的曲面与直线. 由 Fano 概形的一般理论可以证明 ${\pi }_U^{-1}([X])$ (即 Fano 概形 $F_1(X)$) 在 $\ell$ 处切空间同构于 $H^0(N_{\ell /X})$, 这里 $N$ 表示法丛 (直观地说, 法丛中一组向量相当于给出 $\ell$ 在 $X$ 中的形变).

下面计算此法丛. 用 $K$ 表示空间的典范丛, 则 $K_X{|}_{\ell }\otimes N_{\ell /X}\cong K_{\ell }$, $\mathrm{deg}(K_{\ell })=-2$, 由伴随公式 $\mathrm{deg}(K_X{|}_{\ell })=-1$, 因此 $\mathrm{deg}(N_{\ell /X})=-1$, 故它没有非零整体截面. 因此切空间为 $0$, 即此映射非分歧.

$\square$

下面数出直线的条数. 为此可以基变换所有东西到代数闭域 $k$ 上; 故在接下来的证明中以没有下标的记号表示 $k$ 上的事物.

证明. 我们需要用另一种视角来看问题. 记 $V=\Gamma ({\mathbf{P}}^3,\mathcal{O}(1))$, 则四元三次方程相当于 ${\mathrm{Sym}}^3(V)$ 中元素. 记 $\mathbf{G}(2,4)$ 上的重言丛为 $Q$, 它是以 $V$ 为纤维的平凡丛的二维商丛, 在 $\ell \in \mathbf{G}(2,4)$ 处的纤维可视为 $\Gamma (\ell ,\mathcal{O}(1))$.

此时张量 $T\in {\mathrm{Sym}}^3(V)$ 对应的三次曲面包含 $\ell$ 当且仅当 $T$ 在 ${\mathrm{Sym}}^3(Q)$ 的像 $\bar{T}$ 在点 $\ell \in \mathbf{G}(2,4)$ 为 $0$. 由于之前证明的平展性, $\bar{T}$ 的零点孤立且无重数. 由陈类的性质, $\bar{T}$ 的零点个数就是 ${\mathrm{Sym}}^3(Q)$ 的顶陈类 $c_4({\mathrm{Sym}}^3(Q))$ 的度. 用分裂原理可以算出$$c_4({\mathrm{Sym}}^3(Q))=9c_2(Q)(2c_1(Q{)}^2+c_2(Q))$$用 Graßmann 概形的上同调计算可以看出它的度为 $27$. 这样就证明了定理 1.1.

$\square$

在证明非分歧和数个数时, 也可以用具体计算的方法, 不过这种方法难以推广到更复杂的情况.

证明.

证明. 我们可以基变换所有东西到 $k$ 上; 故在接下来的证明中以没有下标的记号表示 $k$ 上的事物. 适当选取射影坐标 $x,y,z,w$, 可设直线 $\ell$ 是 $x=y=0$.

由 Graßmann 概形的局部坐标表示, $[\ell ]\in \mathbf{G}(2,4)$ 的一个仿射邻域由如下形式的直线构成: $$x=a^{\prime }z+aw,y=b^{\prime }z+bw,a,a^{\prime },b,b^{\prime }\in k.$$令 $A=k[a,a^{\prime },b,b^{\prime }]$ 为多项式环, 则该仿射邻域就是 $\mathrm{Spec}A$, 点 $[\ell ]$ 就是 $(0,0,0,0)$, 对应的极大理想是 $\mathfrak{m}=(a,a^{\prime },b,b^{\prime })$.

由于 $Z\subset {\mathbf{P}}^{19}\times \mathbf{G}(2,4)$ 是闭浸入, 有 ${\pi }^{-1}([X])\subset \mathbf{G}(2,4)$ 是闭浸入. 以 $I\subset A$ 表示闭子概形 ${\pi }^{-1}([X])\cap \mathrm{Spec}(A)\subset \mathrm{Spec}(A)$ 对应的理想, 则欲证 $([X],[\ell ])$ 在纤维中是既约孤立点, 只需证其余切空间为 $0$, 相当于 $\mathfrak{m}/(I+{\mathfrak{m}}^2)=0$. 换言之, 给纤维加上条件$$a^2=a{a}^{\prime }=ab=a{b}^{\prime }=a^{\prime 2}=a^{\prime }b=a^{\prime }{b}^{\prime }=b^2=b{b}^{\prime }=b^{\prime 2}=0,$$要证明 $a=a^{\prime }=b=b^{\prime }=0$. 该命题的几何意义是, 光滑三次曲面上的直线没有一阶形变.

最后终于来到具体计算. 令 $f(x,y,z,w)=0$ 为 $X$ 的方程, 已知 $\ell \subset X$, 即 $f(0,0,z,w)=0$. 直线 $x=a^{\prime }z+aw,y=b^{\prime }z+bw$ 包含于 $X$ 当且仅当 $f(a^{\prime }z+aw,b^{\prime }z+bw,z,w)=0$. 鉴于我们已给 $a,a^{\prime },b,b^{\prime }$ 加上二阶项为零的条件, 由 Taylor 展开这相当于$$(a^{\prime }z+aw)f_x^{\prime }(0,0,z,w)+(b^{\prime }z+bw)f_y^{\prime }(0,0,z,w)=0,$$(1)其中 $f_x^{\prime },f_y^{\prime }$ 表示对应偏导. 显然 $f(0,0,z,w)$ 恒为 $0$ 会推出 $f_z^{\prime }(0,0,z,w)=f_w^{\prime }(0,0,z,w)=0$, 于是由 $X$ 在 $(0,0,z,w)$ 处光滑, 有 $f_x^{\prime }(0,0,z,w)$ 与 $f_y^{\prime }(0,0,z,w)$ 不同时为 $0$. 此二式都是关于 $z,w$ 的齐二次方程, 这相当于它们在 ${\mathbf{P}}^1$ 上没有公共零点. 现如 $f_x^{\prime }(0,0,z,w)$ 两零点相异, 将它们代入 (1) 即得关于 $b,b^{\prime }$ 的两个独立线性方程, 即得 $b=b^{\prime }=0$, 然后容易得到 $a=a^{\prime }=0$. $f_y^{\prime }(0,0,z,w)$ 两零点相异的情形道理一样. 如二者都具有二重零点, 作坐标变换可设它们的零点分别为 $0$ 与 $\infty$, 即 $f_x^{\prime }(0,0,z,w)=c{z}^2$, $f_y^{\prime }(0,0,z,w)=d{w}^2$. 此时简单观察系数即知 $a=a^{\prime }=b=b^{\prime }=0$.

现在已经证明 ${\pi }_U$ 有限平展, 只需证其次数是 $27$. 由于 $U$ 是连通的, 只需在一个几何点上检查次数, 即对一个具体的代数闭域和具体的光滑三次曲面, 算出其上直线条数为 $27$. 我们取复数上的 Fermat 三次曲面$$x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3=0.$$引言中已经展示其上至少有 $27$ 条直线, 需证明只有那些. 现取其上一条直线, 置换坐标可设其具有方程$$x_0=a{x}_2+b{x}_3,x_1=c{x}_2+d{x}_3.$$将其代入曲面, 得$$a^3+c^3+1=b^3+d^3+1=a^{2}b+c^{2}d=a{b}^2+c{d}^2=0.$$如 $a,b,c,d$ 全不为 $0$, 则后两方程给出 $ad=bc$; 于是 $a^{2}b+c^{2}d=0$ 给出 $a^3+c^3=0$, 与第一个方程矛盾; 故 $a,b,c,d$ 中有 $0$. 这样容易看出其中有两个是 $0$, 而另两个是 $-1$ 的三次方根, 这就是引言中的直线.

$\square$

2直线构型

3相关概念

•

代数曲面

•

Fano 概形

术语翻译

$27$ 条直线 • 英文 $27$ lines • 德文 $27$ Gerade • 法文 $27$ droites • 拉丁文 $27$ rectae • 古希腊文 $27$ εὐθεῖαι