奇迹平坦

奇迹平坦是个交换代数定理, 说的是正则局部环上的模忠实平坦等价于大 Cohen–Macaulay.

1定理与证明

回忆称 Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 的 (未必有限生成) 模 $M$ 是大 Cohen–Macaulay 模, 指的是 $\mathfrak{m}M⫋M$, 且 $R$ 的参数系都是 $M$-正则序列.

定理 1.1. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Cohen–Macaulay 局部环, $M$ 是 $R$-模. 则 $M$ 是忠实平坦模等价于 $M$ 是平坦维数有限的大 Cohen–Macaulay 模. 特别地, 由于正则局部环上所有的模平坦维数都有限, 其模忠实平坦等价于大 Cohen–Macaulay.

证明. 如 $M$ 忠实平坦, 其平坦维数是 $0$, 当然有限; 也自然有 $\mathfrak{m}M⫋M$; 然后由于 $R$ Cohen–Macaulay, 其参数系都是正则序列, 而 $M$ 平坦, $-{\otimes }_{R}M$ 保持单射, 于是 $R$ 的参数系在 $M$ 上仍是正则序列, 故 $M$ 是大 Cohen–Macaulay 模.

反过来如 $M$ 是平坦维数有限的大 Cohen–Macaulay 模, 则首先 $\mathfrak{m}M⫋M$ 保证其忠实, 只需证其平坦. 这相当于证明对任一有限生成 $R$-模 $N$, ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)$ 在 $i>0$ 时为零. 我们对 $i$ 向下归纳. $i$ 充分大时这由平坦维数有限保证. 由结合素理想的理论, $N$ 具有滤链, 其各项形如 $R/P$, $P\in \mathrm{Spec}R$, 故由 $\mathrm{Tor}$ 的长正合列可不妨设 $N=R/P$. 设 $\dim R=n$, $\mathrm{ht}(P)=h$. 由于 $R$ Cohen–Macaulay, 特别地悬链, 可取参数系 $r_1,\dots ,r_n$ 使得 $r_1,\dots ,r_h\in P$. 由 $R$ Cohen–Macaulay, 它是 $R$ 的正则序列. 由 $M$ 大 Cohen–Macaulay, 它也是 $M$ 的正则序列. 于是 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,R/(r_1,\dots ,r_h))$ 在 $i>0$ 时为 $0$. 由 Krull 高度定理, $P$ 是 $(r_1,\dots ,r_h)$ 上的极小素理想, 特别地是结合素理想, 于是存在短正合列$$0\to R/P\to R/(r_1,\dots ,r_h)\to C\to 0$$写出其 $\mathrm{Tor}$ 长正合列, 知在 $i>0$ 时有 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,R/P)={\mathrm{Tor}}_{i+1}^R(M,C)$, 于是由归纳假设即得结论.

$\square$

注 1.2. 如此操作是为了得到 $M$ 未必有限生成时的一般结论. 如有限生成, 可简单使用平坦性的切片判别法, 对 $\dim R$ 归纳证明定理.

2推论

下面的推论是奇迹平坦的常见应用形式.

推论 2.1. 设 $A$ 是正则环, $B$ 是 Noether 环, 单同态 $f:A\to B$ 满足纤维不超过 $0$ 维, 即对任意 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$, $B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{B}_{\mathfrak{p}}$ 是 Artin 环 (比如 $f$ 为有限或拟有限). 则 $f$ 平坦当且仅当 $B$ 是 Cohen–Macaulay 环.

证明. 平坦和 Cohen–Macaulay 都是局部性质, 故可设 $A,B$ 都是局部环, $f$ 是局部同态. 设 $A,B$ 的极大理想分别为 $\mathfrak{m},\mathfrak{n}$. 由条件, $B/\mathfrak{m}B$ 是 Artin 环, 所以 $A$ 的参数系也是 $B$ 的参数系, 于是 $B$ 是 Cohen–Macaulay 环, 当且仅当它是大 Cohen–Macaulay $A$-模. 这样由定理 1.1 立得结论.

$\square$

推论 2.2. 设 $(A,\mathfrak{m})$ 是正则局部环, $(B,\mathfrak{n})$ 是 Cohen–Macaulay 局部环, $f:A\to B$ 是局部同态, 满足 $\dim B=\dim A+\dim B/\mathfrak{m}B$. 则 $f$ 平坦.

证明. 条件中的等式说明 $A$ 的参数系与 $B/\mathfrak{m}B$ 的参数系的提升合起来是 $B$ 的参数系 (见维数理论条目中纤维维数不等式的证明). 这样, $B$ Cohen–Macaulay 就说明 $A$ 的参数系是 $B$ 的正则序列. 这样由定理 1.1 便知 $f$ 平坦.

$\square$

3相关概念

•	正则序列
•	Auslander–Buchsbaum 公式

术语翻译

奇迹平坦 • 英文 miracle flatness • 德文 wunderbare Flachheit • 法文 platitude miraculeuse