Auslander–Buchsbaum 公式

Auslander–Buchsbaum 公式是个交换代数等式, 联系 Noether 局部环上模的深度和投射维数两个同调不变量.

1陈述与证明

定理 1.1. $(R,\mathfrak{m},k)$ 是 Noether 局部环, $M$ 是其有限生成模. 如 $M$ 投射维数有限, 就有$$\mathrm{pd}(M)=\mathrm{depth}(R)-\mathrm{depth}(M).$$

证明. 对 $\mathrm{pd}(M)$ 归纳. $\mathrm{pd}(M)=0$ 时显然. $\mathrm{pd}(M)>0$ 时取一步极小消解$$0\to K\to F\to M\to 0$$使得 $K\subseteq \mathfrak{m}F$, $F$ 是自由 $R$-模. 则 $\mathrm{pd}(K)=\mathrm{pd}(M)-1$, 要证 $\mathrm{depth}(M)=\mathrm{depth}(K)-1$. 写它的 $\mathrm{Ext}(k,-)$ 长正合列, 有$$\cdots \to {\mathrm{Ext}}^{i-1}(k,F)\to {\mathrm{Ext}}^{i-1}(k,M)\to {\mathrm{Ext}}^i(k,K)\to {\mathrm{Ext}}^i(k,F)\to \cdots$$于是当 $i<\mathrm{depth}(K)\le \mathrm{depth}(R)$ 时 ${\mathrm{Ext}}^{i-1}(k,M)=0$. 要证 $i=\mathrm{depth}(K)$ 时 ${\mathrm{Ext}}^{i-1}(k,M)\ne 0$. 只需证此时映射 ${\mathrm{Ext}}^i(k,K)\to {\mathrm{Ext}}^i(k,F)$ 为零, 因这样便有 ${\mathrm{Ext}}^{i-1}(k,M)\cong {\mathrm{Ext}}^i(k,K)\ne 0$. 下证之.

当 $\mathrm{pd}(K)>0$ 时, 由归纳假设, $\mathrm{depth}(K)<\mathrm{depth}(R)$, 于是 ${\mathrm{Ext}}^i(k,F)=0$, 那个映射自然是 $0$. 当 $\mathrm{pd}(K)=0$ 时, $K$ 是自由模. 由于 $K\subseteq \mathfrak{m}F$, 把映射 $K\to F$ 写成矩阵, 矩阵元都在 $\mathfrak{m}$ 中. 这样, 把 ${\mathrm{Ext}}^i(k,K)\to {\mathrm{Ext}}^i(k,F)$ 也写成矩阵, 矩阵元是 ${\mathrm{Ext}}^i(k,R)$ 的自映射 “乘以映射 $K\to F$ 的矩阵元”, 便知这一映射是 $0$, 因为 ${\mathrm{Ext}}^i(k,R)$ 是 $k$-线性空间, 乘以 $\mathfrak{m}$ 中元素当然是零映射.

$\square$

注 1.2. 正则局部环的整体维数有限. 所以取 $R$ 为正则, $\mathrm{depth}(M)=\mathrm{depth}(R)=\dim R$, 即得奇迹平坦的有限生成模情形. 所以 Auslander–Buchsbaum 公式是有限生成模奇迹平坦的推广.

2推广

Auslander–Buchsbaum 公式可推广到链复形. 仍设 $(R,\mathfrak{m},k)$ 是 Noether 局部环. 按深度条目所述定义链复形的深度, 并对 $M^{\bullet }\in {\mathsf{D}}^{-}(R)$ 定义其投射维数为$$\mathrm{pd}(M)=\inf \{\sup \{i\mid P^{-i}=0\}\mid P^{\bullet }\to M^{\bullet }是投射消解\}.$$则 Auslander–Buchsbaum 公式有以下推广:

定理 2.1 (Foxby–Iyengar). 设 $M$ 为非零完美复形, $C\in \mathsf{D}(R)$. 则$$\mathrm{depth}(C\otimes M)=\mathrm{depth}(C)-\mathrm{pd}(M).$$

$M$ 的上同调集中在 $0$ 处且 $C=R$ 时, 这就是定理 1.1.

证明. 把 $M$ 换成极小消解, 可设其为极小复形. 平移, 可设 $\mathrm{pd}(M)=0$. 此时 $M$ 形如$$0\to M^0\to M^1\to \cdots$$其中 $M^i$ 有限秩自由, 各边缘映射张量积到 $k$ 都是零, $M^0\ne 0$. 要证明 $\mathrm{depth}(C\otimes M)=\mathrm{depth}(C)$. 依定义, 这相当于证明对任一 $d\in \mathbb{Z}$ 都有 $\mathrm{RHom}(k,C\otimes M)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$ 当且仅当 $\mathrm{RHom}(k,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$. 由 $M$ 是完美复形, 容易发现$$\mathrm{RHom}(k,C\otimes M)=\mathrm{RHom}(k,C)\otimes M=\mathrm{RHom}(k,C){\otimes }_k(M\otimes k).$$而 $M$ 各边缘映射张量积到 $k$ 都是零, 所以 $M\otimes k$ 是 $k$ 及其一些右平移的直和, 且 $0$ 处有非零个 $k$. 由此立得 $\mathrm{RHom}(k,C\otimes M)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$ 当且仅当 $\mathrm{RHom}(k,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$.

$\square$

3相关概念

•	投射维数
•	Cohen–Macaulay 模
•	奇迹平坦

术语翻译

Auslander–Buchsbaum 公式 • 英文 Auslander–Buchsbaum formula • 德文 Auslander–Buchsbaum-Formel • 法文 formuler d’Auslander–Buchsbaum