正则序列

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

正则序列是个交换代数概念, 大体描述的是环中的一列元素相对其一个模的同调表现比较简单. 它在涉及同调代数的交换代数中十分重要, 被用来定义、研究深度、Cohen–Macaulay 环等概念.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模. 对 $n\in \mathbb{N}$, 称 $R$ 中一列元素 $r_1,\dots ,r_n$ 是 $\mathbf{M}$-正则序列或 $\mathbf{M}$ 的正则序列, 意思是对每个 $i=1,\dots ,n$, 都有 $r_i$ 是 $M/(r_1,\dots ,r_{i-1})M$ 的非零因子.

不加定语的正则序列指 $R$ 作为自身的模的正则序列.

注 1.2. 依定义:

•	空序列是正则序列.
•	任何序列都是零模的正则序列.
•	满足 $r_1=1$ 的序列是每个模的正则序列.

这与一些地方的约定不同, 因那些地方要求 $M/(r_1,\dots ,r_n)M\ne 0$. 由于大部分情况下讨论的都是 $R$ 为局部环, $M$ 为有限生成模, $r_1,\dots ,r_n$ 在 $R$ 的极大理想中的情形, 所以要不要求 $M/(r_1,\dots ,r_n)M\ne 0$ 其实区别不大, 因这时 Nakayama 引理总会保证此事. 这里的约定好处在于其显然被局部化保持.

注 1.3. 元素顺序是重要的. 一般来说, 把一个正则序列打乱顺序, 所得序列未必还正则. 但在 $R$ 为 Noether 局部环, $M$ 为其有限生成模, $r_1,\dots ,r_n$ 在 $R$ 的极大理想中的情形, 打乱顺序并不影响正则性, 见命题 3.4.

2例子

•	任取环 $R$. 多项式环 $R[x_1,\dots ,x_n]$ 中的序列 $x_1,\dots ,x_n$ 是正则序列.
•	任取域 $k$. 环 $A=k[x,y]/(x^2,xy)$ 中的序列 $y$ 不是正则序列, 但它是模 $A/x=k[y]$ 的正则序列.
•	对任意非零环和其上非零模, $1,0$ 总是正则序列, 而 $0,1$ 总不是, 故正则序列打乱顺序未必还正则.
•	如嫌上例过于平凡, 可将其包装如下: 任取域 $k$. 在环 $k[x,y,z]/(xz)$ 中, $x+1,xy$ 是正则序列但 $xy,x+1$ 不是. 本例满足商模 $k[x,y,z]/(xz,x+1,xy)=k[x,y,z]/(x+1,y,z)=k\ne 0$, 但其实它在 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 处是上例.

3性质

首先是局部性.

命题 3.1. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模, $r_1,\dots ,r_n\in R$. 以下几条等价:

•	$r_1,\dots ,r_n$ 是 $M$-正则序列.
•	对 $R$ 的每个素理想 $\mathfrak{p}$, $r_1,\dots ,r_n$ 是 $M_{\mathfrak{p}}$-正则序列.
•	对 $R$ 的每个极大理想 $\mathfrak{m}$, $r_1,\dots ,r_n$ 是 $M_{\mathfrak{m}}$-正则序列.

证明. 这是因为局部化是正合的, 单射是局部的.

$\square$

命题 3.2. 正则序列的 Koszul 复形零调.

命题 3.3. $R$ 是环, $I$ 是其理想, $M$ 是其模. 设 $r_1,\dots ,r_n\in I$ 是 $M$-正则序列. 则对 $i<n$ 及任意 $R/I$-模 $N$, 有 ${\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)=0$.

证明. 用归纳法. $n=0$ 时平凡. $n>0$ 时写短正合列$$0\to M\to M\to M/r_{1}M\to 0$$的 ${\mathrm{Ext}}_R^i(N,-)$ 长正合列, 有$$\cdots \to {\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(N,M/r_{1}M)\to {\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)\to {\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)\to \cdots$$对 $i<n$, 有 $i-1<n-1$, 故由归纳假设 ${\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(N,M/r_{1}M)=0$, 从而 $r_1:{\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)\to {\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)$ 是单射. 而 $N$ 是 $R/I$-模, $r_1\in I$, 故此映射是 $0$. 所以只有 ${\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)=0$.

$\square$

命题 3.4. 设 $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是有限生成 $R$-模, $r_1,\dots ,r_n\in \mathfrak{m}$ 是 $M$-正则序列. 则这些元素的任意置换都还是 $M$-正则序列.

证明. 每个置换都是若干个相邻两元素对换的复合, 故只需证 $n=2$ 情形. 记 $K=\ker (r_2:M\to M)$, 则由 Noether 环上有限生成模的性质知 $K$ 为有限生成. 对图表$$0MMM/r_{1}M00MMM/r_{1}M0r_1{r}_2{r}_2{r}_2{r}_1$$用蛇引理, 由条件 $r_2:M/r_{1}M\to M/r_{1}M$ 为单射知 $r_1:K\to K$ 为满射. 于是由 Nakayama 引理知 $K=0$. 注意蛇引理还说明 $r_1:M/r_{2}M\to M/r_{2}M$ 为单射, 故 $r_2,r_1$ 也是 $M$-正则序列, 命题得证.

$\square$

4相关概念

•	零因子
•	Koszul 复形
•	Cohen–Macaulay 环

术语翻译

正则序列 • 英文 regular sequence • 德文 reguläre Folge • 法文 suite régulière • 拉丁文 sequentia regularis • 古希腊文 κανονικὴ ἀκολουθία