平坦维数

平坦维数衡量环上的模离平坦有多远.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. $M$ 的平坦维数 $\mathrm{fd}(M)$ 指的是函子 $-{\otimes }_{R}M$ 的同调维数. 换言之, $$\mathrm{fd}(M)=\sup \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Tor}}_n(-,M)\ne 0\}.$$显然对右模也可作同样定义, 只是要放在张量积的左边.

注 1.2. 依定义, $\mathrm{fd}(M)$ 也是 $\mathcal{A}$ 到 $\mathsf{Fun}(\mathcal{A},\mathsf{Ab})$ 的函子 $M\mapsto -{\otimes }_{R}M$ 下, 对象 $M$ 的同调维数.

2性质

记号沿上.

命题 2.1. 对短正合列$$0\to N\to M\to Q\to 0,$$有 $\mathrm{fd}(M)\le \max \{\mathrm{fd}(N),\mathrm{fd}(Q)\}$, $\mathrm{fd}(N)\le \max \{\mathrm{fd}(M),\mathrm{fd}(Q)\}$, $\mathrm{fd}(Q)\le \max \{\mathrm{fd}(M),\mathrm{fd}(N)+1\}$. 如果 $\mathrm{fd}(M)<\mathrm{fd}(Q)$, 则 $\mathrm{fd}(Q)=\mathrm{fd}(N)+1$.

命题 2.2. $M$ 的平坦维数就是其平坦消解的最短长度, 即$$\mathrm{fd}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid 存在正合列0\to F_n\to \cdots \to F_0\to M\to 0,各F_i平坦\}.$$此外, 对任意 $n\ge \mathrm{fd}(M)$ 以及正合列$$0\to F_n\to \cdots \to F_0\to M\to 0,$$只要 $F_0,\dots ,F_{n-1}$ 平坦, $F_n$ 也就平坦.

命题 2.3. $$\mathrm{fd}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Tor}}_{n+1}(-,M)=0\}.$$特别地, $M$ 平坦当且仅当 ${\mathrm{Tor}}_1(-,M)=0$.

考虑到注 1.2, 这些命题是同调维数条目对应命题的立即推论.

以下是一些具体结论.

命题 2.4. 环上模的平坦维数小于等于投射维数. 对 Noether 环上的有限生成模, 这两维数相等.

证明. 第一句话是因为命题 2.2、投射维数的对应命题、环上投射模都平坦. 第二句话则是因为 Noether 环有限生成模的子模有限生成, 消解时总可使用有限生成模; 然后 Noether 环上有限生成模有限表现, 而有限表现平坦模和有限生成投射模是一回事.

$\square$

命题 2.5. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. 则$$\mathrm{fd}(M)=\inf \{n\in \mathbb{N}\mid \forall J\subseteq R有限生成右理想,{\mathrm{Tor}}_{n+1}(R/J,M)=0\}.$$

证明. 只需对固定的 $m\in \mathbb{N}$ 证明, 如果 ${\mathrm{Tor}}_m(R/J,M)=0$ 对所有有限生成右理想 $J\subseteq R$ 成立, 就有 ${\mathrm{Tor}}_m(N,M)$ 对所有右模 $N$ 成立. 我们分以下几步:

1.	首先 ${\mathrm{Tor}}_m(R/J,M)=0$ 对所有右理想 $J$ 成立. 这是因为可将 $J$ 写成有限生成右理想的滤余极限, 从而 $R/J$ 也是对应的商去有限生成右理想的滤余极限, 而 $\mathrm{Tor}$ 函子与滤余极限交换.
2.	其次 ${\mathrm{Tor}}_m(N,M)=0$ 对所有有限生成模 $N$ 成立. 这是因为可对生成元个数归纳, 一元生成就是 $R/J$, 上面已经处理; 多元生成时写短正合列$$0\to N^{\prime }\to N\to N^{\prime \prime }\to 0$$使得 $N^{\prime },N^{\prime \prime }$ 都由更少的元素生成, 然后写出 $\mathrm{Tor}$ 函子长正合列, 用归纳假设即可.
3.	最后证明 ${\mathrm{Tor}}_m(N,M)=0$ 对所有的 $N$ 成立. 这是因为可将 $N$ 写成有限生成右模的滤余极限, 利用 $\mathrm{Tor}$ 函子与滤余极限交换得到结论.

$\square$

由于交换环上模的平坦性可以局部检查, 其上平坦维数也可以局部计算.

命题 2.6. 对交换环 $A$ 及其模 $M$, $${\mathrm{fd}}_A(M)=\sup \{{\mathrm{fd}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})\mid \mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A\}.$$

证明. 由于 $M$ 的平坦消解对 $\mathfrak{p}$ 局部化就能得到 $M_{\mathfrak{p}}$ 作为 $A_{\mathfrak{p}}$-模的平坦消解, 所以 ${\mathrm{fd}}_A(M)\ge {\mathrm{fd}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})$. 反过来如果对每个素理想 $\mathfrak{p}$ 都有 ${\mathrm{fd}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})\le n$, 需要证明 ${\mathrm{fd}}_A(M)\le n$. 取 $M$ 的 $n-1$ 步平坦消解$$F_{n-1}\to \cdots \to F_0\to M\to 0$$并令 $F_n=\ker (F_{n-1}\to F_{n-2})$. 对素理想 $\mathfrak{p}$, 正合列$$0\to F_n\to \cdots \to F_0\to M\to 0$$在 $\mathfrak{p}$ 处的局部化是 $M_{\mathfrak{p}}$ 的消解; 由于 ${\mathrm{fd}}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})\le n$, 命题 2.2 给出 $(F_n{)}_{\mathfrak{p}}$ 是平坦 $A_{\mathfrak{p}}$-模. 这对任一素理想成立, 于是 $F_n$ 是平坦 $A$-模, ${\mathrm{fd}}_A(M)\le n$.

$\square$

3例子

•	平坦对象就是平坦维数 $0$ 的对象.
•	由于主理想整环上平坦模就是无挠模, 无挠模的子模无挠, 由命题 2.2 即知主理想整环上模的平坦维数至多是 $1$. 作为 $\mathbb{Z}$-模, $\mathbb{Z}/n$, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ 的平坦维数都是 $1$, 而 $\mathbb{Q}$ 的平坦维数是 $0$. 由此可见, 平坦维数可以严格小于投射维数.
•	$\mathbb{Z}/2$ 作为 $\mathbb{Z}/4$-模的平坦维数是 $\infty$.

4相关概念

•	同调维数
•	$\mathrm{Tor}$-维数

术语翻译

平坦维数 • 英文 flat dimension • 德文 flache Dimension • 法文 dimension plat