$Tor$ -维数

环的 $Tor$ -维数是其同调复杂性的一个度量, 指的是其模范畴中 $Tor$ 函子的最远延伸.

1定义

定义 1.1. 环 $R$ 的 $Tor$ -维数, 记作 $tor-dim R$ , 定义为 $tor-dim R = sup {n \in N ∣ \exists M \in Mod - R, N \in R - Mod, Tor_{n} (M, N) \neq = 0} .$

通常不讨论零环的 $Tor$ -维数, 或将其约定为 $- 1$ 或 $- \infty$ . 依以上定义, 非零环的同调维数取值在 $N \cup {\infty}$ .

命题 2.1. 环 $R$ 的 $Tor$ -维数是其各左模平坦维数的上确界, 也是各右模平坦维数的上确界, 即 $tor-dim R = sup {fd_{R} (M) ∣ M \in Mod - R} = sup {fd_{R} (N) ∣ N \in R - Mod} .$

证明. 依定义显然.

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命题 2.2. $tor-dim R = in f {n \in N ∣ Tor_{n + 1} (-, -) = 0} .$ 特别地, $tor-dim R = 0$ 等价于所有左 $R$ -模都平坦.

证明. 由命题 2.1, 这是平坦维数对应命题的直接推论.

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以下命题说明算 $Tor$ -维数时只需检查很少一部分模.

命题 2.3. $tor-dim R = in f {n \in N ∣ \forall I \subseteq R 有限生成左理想, J \subseteq R 有限生成右理想, Tor_{n + 1} (R / J, R / I) = 0} .$

证明. 这是平坦维数对应命题的立即推论.

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命题 2.4. 环的 $Tor$ -维数小于等于其左整体维数. 对左 Noether 环此二维数相等.

证明. 见条目整体维数.

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由于交换环上模的平坦性可以局部检查, 其 $Tor$ -维数也可以局部计算.

命题 2.5. 对交换环 $A$ , $tor-dim A = sup {tor-dim A_{p} ∣ p \in Spec A} .$

证明. 这是平坦维数对应命题的立即推论.

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•	半单环的整体维数为 $0$ , 从而 $Tor$ -维数也是 $0$ .
•	如一交换环在每个素理想处的局部化都是域, 则由于平坦可以局部验证, 我们知道它上面所有的模都平坦, 于是平坦维数是 $0$ . 此种环未必半单: 比如无穷多个域的乘积就是此种环, 但显然不 Artin 故不可能半单. 所以 $Tor$ -维数可以严格小于整体维数.
•	$Z$ 的 $Tor$ -维数是 $1$ . $Z /4$ 的 $Tor$ -维数是 $\infty$ , 因为它的模 $Z /2$ 显然没有有限平坦消解.
•	Serre 证明了 Noether 局部交换环的 $Tor$ -维数有限当且仅当其是正则环. 这是以同调方法研究交换代数的开端.

术语翻译

$Tor$ -维数 • 英文 $Tor$ -dimension • 德文 $Tor$ -Dimension • 法文 $Tor$ -dimension