滤余极限

在范畴论中, 滤余极限是滤范畴上的余极限, 是正向余极限的推广.

许多范畴中的滤余极限与有限极限交换, 例如集合范畴和阿贝尔群范畴.

1定义

定义 1.1 (概念). 设 $\kappa$ 是正则基数. ($\kappa$-) 滤余极限是指 ($\kappa$-) 滤范畴上的余极限.

2例子

•	正向集都是滤范畴, 因此正向余极限都是滤余极限.

•	由于 ($\kappa$-) 滤的小范畴总与 ($\kappa$-) 滤的 偏序集共尾 (见滤范畴), 滤余极限总能化为正向余极限.

3性质

命题 3.1. 设 $\mathcal{C}$ 是小范畴, 则 $\mathcal{C}$ 是滤的当且仅当对任意有限范畴 $\mathcal{D}$ 和任意函子 $F:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Set}$, 自然的比较映射$$\lambda :\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\underset{\mathcal{D}}{\lim }F\to \underset{\mathcal{D}}{\lim }\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}F$$都是同构.

类似地, $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-滤的当且仅当对任意 $\kappa$-小范畴 $\mathcal{D}$ 和任意函子 $F:\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathsf{Set}$, 自然的比较映射$$\lambda :\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}\underset{\mathcal{D}}{\lim }F\to \underset{\mathcal{D}}{\lim }\underset{\mathcal{C}}{\mathrm{colim}}F$$都是同构.

注 3.2. 如果将 $\mathsf{Set}$ 换成别的范畴, 则以上命题的两个方向都不一定对.

4相关概念

术语翻译

滤余极限 • 英文 filtered colimit