正则基数

正则基数是共尾类为自身的基数. 相对应地, 奇异基数是共尾类小于自身的基数.

基数的正则性等价于它不能被更小的基数通过取并集得到, 见命题 2.1.

1定义

定义 1.1 (正则基数). 设 $\kappa$ 为无限基数. 若 $\mathrm{cf}(\kappa )=\kappa$, 则称 $\kappa$ 为正则基数.

若无限基数 $\kappa$ 不为正则基数, 则称为奇异基数.

2性质

以下命题基本都需要选择公理. 简单起见, 我们通篇假设选择公理.

命题 2.1. 设 $\kappa$ 为基数. 则以下命题等价:

•	$\kappa$ 是正则基数.
•	$\kappa$ 不能写成少于 $\kappa$ 个小于 $\kappa$ 的基数之和.
•	若 $S_i(i\in I)$ 的势小于 $\kappa$, 且 $I$ 的势小于 $\kappa$, 则 $S={\coprod }_i{S}_i$ 的势小于 $\kappa$.

证明. 容易验证后两条等价.

假设 $\kappa$ 为正则基数. 设 $S_i(i\in I)$ 的势小于 $\kappa$, 且 $I$ 的势小于 $\kappa$, 我们证明 $|{\coprod }_{i\in I}{S}_i|<\kappa$. 给 $I$ 及每个 $S_i$ 赋予良序. 可设 $I=\alpha$, $S_i={\gamma }_i$ 为序数. 对 $\beta \le \alpha$, 令 $f(\beta )={\sum }_{i\in \beta }{\gamma }_i$ 为 $S_{<\beta }={\coprod }_{i\in \beta }{\gamma }_i$ 的字典序的序型, 只需证 $f(\alpha )<\kappa$. 若不然, 取最小的 $\beta \le \alpha$ 满足 $f(\beta )\ge \kappa$. 若 $\beta ={\beta }^{\prime }+1$ 为后继基数, 则 $f(\beta )=f({\beta }^{\prime })+{\gamma }_{{\beta }^{\prime }}\ge \kappa$, 而 $f({\beta }^{\prime })<\kappa$, ${\gamma }_{{\beta }^{\prime }}<\kappa$, 与基数加法矛盾. 若 $\beta$ 为极限基数, 则易见 $f{|}_{\beta }$ 在 $\kappa$ 中共尾, 与 $\kappa$ 正则矛盾.

假设后两条成立, 反设 $\kappa$ 奇异. 取 $\kappa$ 的共尾子集 $Z$, 设 $Z$ 的序型为 $\beta$. 显然 $\beta$ 为极限序数. 令 $f:\beta \to Z$ 为保序双射, 对 $i\in \beta$ 令$$S_i=\{x\in \kappa \mid x\le f(i)\wedge \forall j\in i,f(j)<x\}.$$则 $\kappa ={\bigcup }_{i\in \beta }{S}_i$, 且 $|S_i|<\kappa$, $|\beta |<\kappa$, 与假设矛盾.

$\square$

后继基数均为正则基数.

命题 2.2. 设 $\kappa$ 为基数, 则 ${\kappa }^{+}$ 为正则基数.

证明. 我们使用命题 2.1, 即证不超过 $\kappa$ 个势不大于 $\kappa$ 的集合之并不大于 $\kappa$. 这由 ${\kappa }^2=\kappa$ 立得.

$\square$

对于极限基数, 由于 $\mathrm{cf}({\omega }_{\alpha })=\mathrm{cf}(\alpha )$, 较小的极限基数, 如 ${\omega }_{\omega }$, ${\omega }_{{\omega }_1}$ 等, 均为奇异基数. 正则的极限基数称为弱不可达基数, 其存在性独立于 ZFC.

3相关概念

术语翻译

正则基数 • 英文 regular cardinal number

奇异基数 • 英文 singular cardinal number