有限表现模

有限表现模指被有限个元素在有限个关系下生成的模. 这是关于模重要的有限性条件.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是左 $R$-模. 称 $M$ 有限表现, 指存在右半正合列$$R^m\to R^n\to M\to 0.$$即它被有限个生成元 $x_1,\dots ,x_n$ 在有限个关系 ${\left\{{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=0\right\}}_{i=1}^m$ 下生成.

右模自然也可作类似定义.

2例子

•	有限维线性空间是有限表现模.
•	一般地, 对 $n\in \mathbb{N}$, $R^n$ 是有限表现 $R$-模.
•	$\mathbb{Z}/n$ 是有限表现 $\mathbb{Z}$-模: $$\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\to 0.$$
•	一般地, 有限表现模商去有限生成子模有限表现.
•	Noether 环上有限生成模有限表现.
•	$k$ 是域. 环 $R=k[x_1,x_2,\dots ]$ 上的模 $k=R/(x_1,x_2,\dots )$ 有限生成, 但不有限表现.

3性质

有限表现模的定义要求其在特定一组生成元下只有有限个关系; 对于另一组生成元呢? 我们有如下性质.

命题 3.1. $R$ 是环, $M$ 是有限表现左 $R$-模. 那么对于任意 $n\in \mathbb{N}$ 以及任意满射 $f:R^n\twoheadrightarrow M$, $\ker (f)$ 有限生成. 即有限表现模在任一组生成元下有限表现. 一般地, 对任一有限生成模 $N$ 以及满射 $f:N\twoheadrightarrow M$, $\ker (f)$ 都有限生成.

另外, 有限表现模还有范畴论刻画, 即它是 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 中的紧对象.

命题 3.2 (紧). $M\in R\text{-}\mathsf{Mod}$ 有限表现, 当且仅当对 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 中任一滤相系 $\{N_i{\}}_{i\in I}$, 都有$${\mathrm{Hom}}_R(M,\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{N}_i)=\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\mathrm{Hom}}_R(M,N_i).$$

4相关概念

•	有限生成模
•	凝聚模
•	凝聚环
•	Noether 模
•	有限表现代数
•	紧对象

术语翻译

有限表现模 • 英文 finitely presented module • 法文 module de présentation finie