轨形

轨形是类似流形的形状, 但可能有一些奇点. 流形局部上看起来像是 Euclid 空间, 而轨形局部上看起来像是 Euclid 空间商掉有限群的作用.

例如, 循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 以旋转作用在平面 ${\mathbb{C}}^2$ 上, 得到的商 ${\mathbb{C}}^2/(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ 就是一个轨形, 它的奇点为 $A_{n-1}$ 型. 再例如, 椭圆曲线的模空间是上半平面商去 $\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$ 的作用, 它也是一个轨形.

轨形是一种特殊的微分叠, 其之于微分叠正如 Deligne–Mumford 叠之于 Artin 叠.

1定义

轨形带有的信息不只是一个拓扑空间, 它还记住了其中的点如何被群作用粘起来. 因此, 我们用 Lie 群胚来描述轨形, 其对象代表轨形的点, 其态射代表两个点通过群作用被粘起来的关系.

定义 1.1 (轨形群胚). 设 $G=(G_1\underset{t}{\stackrel{s}{\rightrightarrows }}{G}_0)$ 为 Lie 群胚.

•	称 $G$ 紧合, 如果映射 $(s,t):G_1\to G_0\times G_0$ 是光滑流形之间的紧合映射.

•	称 $G$ 平展, 如果两映射 $s,t:G_1\to G_0$ 都是局部微分同胚.

轨形群胚就是指紧合、平展的 Lie 群胚.

例 1.2 (作用群胚). 设 Lie 群 $\Gamma$ 作用于光滑流形 $X$. 定义其作用群胚 $G=X//\Gamma$ 为一 Lie 群胚, 其对象空间为 $G_0=X$, 即其对象为 $X$ 中的点; 其态射空间为 $G_1=\Gamma \times X$, 态射 $(\gamma ,x)\in G_1$ 由 $x$ 指向 $\gamma \cdot x$, 也就是说, 这一态射将 $x$ 与 $\gamma \cdot x$ 粘起来.

若 $\Gamma$ 是有限群, 则得到的作用群胚是轨形群胚. 更一般地, 只要 $\Gamma$ 是离散群, 并且该作用是紧合作用, 则作用群胚是轨形群胚.

定义 1.3 (轨形). 轨形是由轨形群胚表现的微分叠.

2例子

•	椭圆曲线的模空间.
•	透镜空间.
•	ADE 奇点.

3参考文献

以下两篇是从叠的观点出发的介绍.

•	Eugene Lerman (2010). “Orbifolds as stacks?”. Enseign. Math. 56 (3), 315–363. arXiv: 0806.4160 [math.DG]. (doi)
•	Ieke Moerdijk (2002). “Orbifolds as groupoids: an introduction”. arXiv: math/0203100 [math.DG].

术语翻译

轨形 • 英文 orbifold • 德文 Orbifaltigkeit (f) • 法文 orbifold (m) • 拉丁文 orbiplex (n) • 古希腊文 τροχοπλούτης (f)

轨形群胚 • 英文 orbifold groupoid • 拉丁文 catervoides orbiplex • 古希腊文 τροχόπλουν ὁμαδοειδές