Whitehead 定理

Whitehead 定理是说, CW 复形之间的弱同伦等价一定是同伦等价.

1定理与证明

定理 1.1 (Whitehead). 设 $X,Y$ 为 CW 复形, $f:X\to Y$ 为弱同伦等价. 则 $f$ 为同伦等价.

证明.

1.

首先假设 $f$ 是子复形的含入映射. 考虑拓扑空间对 $(Y,X)$ 的同伦群长正合列, 可知对任何 $n$, 及任何 $x\in X$, 相对同伦群 ${\pi }_n(Y,X,x)=0$. 我们说明, 此时 $Y$ 能形变收缩到 $X$. 事实上, 我们可以在时间区间 $[1-1/2^k,1-1/2^{k+1}]$ $(k=0,1,2,\dots )$ 中, 将 $Y\setminus X$ 的所有 $k$-胞腔同伦到 $X$ 中, 并保持所有小于 $k$ 维的胞腔及 $X$ 不动. 这是因为, 这些 $k$-胞腔的边界已在上一个时间区间中移到了 $X$ 中, 从而条件 ${\pi }_k(Y,X)=0$ 说明该胞腔也可以移到 $X$ 中. 对于 $n>k$ 维的胞腔, 可以利用 $(D^n,S^{n-1})$ 的同伦延拓性质, 定义其在时间区间 $[1-1/2^k,1-1/2^{k+1}]$ 的移动方式. 这样, 我们就得到了 $Y$ 到 $X$ 的形变收缩, 从而 $f$ 是同伦等价.

2.

对一般情况, 由胞腔逼近, 不妨设 $f$ 是胞腔映射. 考虑 $f$ 的映射柱 $M_f$. 它能形变收缩到 $Y$, 并且 $X$ 能作为子复形嵌入 $M_f$, 使得复合映射 $X\hookrightarrow M_f\to Y$ 同伦于 $f$. 对映射 $X\hookrightarrow M_f$ 使用第 1 步论证即可. $\square$

术语翻译

Whitehead 定理 • 英文 Whitehead theorem • 德文 Satz von Whitehead • 法文 théorème de Whitehead