Hurewicz 定理

Hurewicz 定理是代数拓扑中的定理, 它联系了拓扑空间的同伦群与同调群.

1陈述与证明

定理 1.1 (Hurewicz). 对道路连通空间 $X$, 如同伦群 ${\pi }_i(X)=0$ 对 $i<n$ 成立, 则

•	$n=1$, 则同调群 $H_1(X)$ 为 ${\pi }_1(X)$ 的交换化.

•	$n>1$, 则 $H_n(X)={\pi }_n(X)$.

证明. 首先证明 $n=1$ 的情况 (...)

$n>1$ 时, 对 $n$ 归纳, 考虑纤维化 $\Omega X\to PX\to X$, 它诱导了 Leray–Serre 谱序列$$E_{pq}^2=H_p(X,H_q(\Omega X,\mathbb{Z}))\Rightarrow H_{p+q}(PX,\mathbb{Z}).$$由于 $PX$ 可缩, $H_{p+q}$ 只有在 $p=q=0$ 时才不为 $0$.

注意到环路空间 $\Omega X$ 满足 $n-1$ 时的条件, 由归纳假设, 对 $0<q<n-1$, $E_{pq}^2=0$. 因此在谱序列中没有项可以和 $E_{p0}^2$, $0<p<n$ 抵消, 那么这些项就都是 $0$; 此外唯一可能和 $E_{n0}^2$ 抵消的项是 $E_{0,n-1}^2$, 因此$$H_n(X,\mathbb{Z})=H_{n-1}(\Omega X,\mathbb{Z})={\pi }_{n-1}(\Omega X)={\pi }_n(X).$$$\square$

2推论

推论 2.1. 对单连通空间 $X$, 其最低阶不为 $0$ 的同伦群和最低阶不为 $0$ 的同调群阶数相同, 且同构.

(...)

3相关概念

(...)

参考文献

这里呈现的 $n>1$ 情形的证明可以在以下教材中找到.

•	Raoul Bott, Loring Tu (1982). Differential Forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 82. Springer.

术语翻译

Hurewicz 定理 • 英文 Hurewicz theorem • 德文 Satz von Hurewicz • 法文 théorème de Hurewicz