纬悬

拓扑空间 $X$ 的纬悬 $SX$ 是以 $X$ 为底的双锥, 也就是将柱体 $X\times I$ 的两个底面各压缩成一个点, 而得到的空间.

另一种纬悬是带点拓扑空间 $(X,x)$ 的约化纬悬 $\Sigma X$, 也常直接称为纬悬, 是在双锥 $SX$ 中, 将基点 $x$ 对应的母线压缩成一个点, 以作为新的基点, 而得到的带点空间.

纬悬是一种自然的将空间提高一维的方法. 例如, 球面 $S^n$ 的纬悬就是高一维的球面 $S^{n+1}$. 纬悬函子 $\Sigma$ 是环路函子 $\Omega$ 的左伴随, 后者是在同伦意义上将空间降低一维的方法. 这一对伴随称为纬悬–环路伴随, 是代数拓扑中, 特别是稳定同伦论中的重要工具. 这些性质在纬悬用 $\infty$-范畴语言的定义 (命题 3.1) 中更为清晰.

1定义

定义 1.1 (纬悬). 拓扑空间 $X$ 的纬悬定义为商空间$$SX=(X\times I)/\sim ,$$其中等价关系 $\sim$ 定义为对 $x,y\in X$, 有 $(x,0)\sim (y,0)$ 以及 $(x,1)\sim (y,1)$.

定义 1.2 (约化纬悬). 带点拓扑空间 $(X,x)$ 的约化纬悬 (也直接称纬悬) 定义为商空间$$\Sigma X=SX/(x\times I),$$其基点为 $x\times I$ 对应的点.

2例子

•	球面 $S^n$ 的纬悬为 $S{S}^n\simeq S^{n+1}$ ($n\ge -1$); 其约化纬悬为 $\Sigma S^n\simeq S^{n+1}$ ($n\ge 0$).

3性质

在 $\infty$-范畴中

纬悬在 $\infty$-范畴的语言中有着简洁的描述:

命题 3.1. 对带点拓扑空间 $(X,x)$, 在带点空间 $\infty$-范畴 $\mathsf{S}$ 中, 以下图表$$X\ast \ast \Sigma X┘$$是 (同伦) 推出图表.

普通的拓扑空间范畴中, 此命题也可以转述如下: 以下图表$$X\mathrm{C}\ast \Sigma X┘$$是推出图表, 这里 $\mathrm{C}X$ 是锥空间.

纬悬–环路伴随

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与同调的联系

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Freudenthal 纬悬定理

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余群结构

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4相关概念

术语翻译

纬悬 • 英文 suspension • 德文 Einhängung (f) • 法文 suspension (f) • 日文 懸垂

约化纬悬 • 英文 reduced suspension • 德文 reduzierte Einhängung (f) • 法文 suspension réduite (f) • 日文 約懸垂