Kan 复形

Kan 复形是一类单纯集. 在单纯集中, 单形是具有方向的, 即每个单形都带有顶点的排序. 而在 Kan 复形中, 单形不再具有方向, 因为对每个单形而言, 更改其顶点的排序所得到的单形也在该 Kan 复形中. 因此, Kan 复形具有更加接近拓扑空间的性质.

例如, 任何拓扑空间 $X$ 的奇异单纯集 $\mathrm{Sing}(X)$ 都是 Kan 复形.

在高阶范畴论中, Kan 复形是 $\infty$-群胚的一种模型. 具体地说, Kan 复形中的顶点, 即 $0$-单形, 对应 $\infty$-群胚的对象, 而对 $n>0$, 其 $n$-单形对应 $\infty$-群胚的 $n$-态射. Kan 复形中, 单形的无向性对应于 $\infty$-群胚中任何 $n$-态射都可逆这一性质.

1定义

对整数 $0\le i\le n$, 记 ${\Lambda }_i[n]\subset \Delta [n]$ 为第 $i$ 个 $n$ 维角形, 即从单纯集 $\Delta [n]$ 中去除其内部及第 $i$ 个顶点所对的面, 而得到的子单纯集.

定义 1.1 (Kan 复形). 称单纯集 $X$ 为 Kan 复形, 若满足以下条件:

•	(角形延拓性质) 对任意 $0\le i\le n$, 及任意映射$$f:{\Lambda }_i[n]⟶X,$$存在映射 $\tilde{f}:\Delta [n]\to X$, 使得下述图表交换: $${\Lambda }_i[n]X\Delta [n]\text{ .}f\tilde{f}$$

2相关概念

术语翻译

Kan 复形 • 英文 Kan complex