单形

单形是一类基础的几何图形, 也是拓扑学中的重要概念. 对每个自然数 $n$, 有一个 $n$ 维单形, 是三角形、四面体等概念的 $n$ 维类比. 例如,

•	$0$ 维单形就是点.

•	$1$ 维单形是线段.

•	$2$ 维单形是三角形.

•	$3$ 维单形是四面体.

在 Euclid 几何中, 可以谈论 Euclid 空间中的三角形、四面体等, 这些单形称为仿射单形.

单形可以用来构建更复杂的几何图形. 例如, 在拓扑学中, 单形可以拼成单纯复形. 在组合学中, 单形可以拼成单纯集.

1定义

作为拓扑空间

定义 1.1 (单形). 设 $n$ 为自然数. 则 $\mathbf{n}$ 维单形是指拓扑空间 ${\Delta }^n$, 定义为$${\Delta }^n=\left\{(x_0,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}|x_0,\dots ,x_n\ge 0,\text{ 且 }\sum _{i=0}^n{x}_i=1\right\},$$并带有 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的子空间拓扑. 这里写下的集合也称为 $n$ 维标准单形.

作为单纯集

2性质

3例子

4相关概念

•	单纯复形
•	单纯集
•	仿射单形、标准单形

术语翻译

单形 • 英文 simplex • 德文 Simplex (n) • 法文 simplexe (m) • 拉丁文 simplex (n)