环同态

环同态即环之间的同态.

1定义

定义 1.1. 环 $R$ 到环 $S$ 的环同态指的是保持加法、乘法、幺元的映射 $\phi :R\to S$, 即其满足 $\phi (1_R)=1_S$, 且对任意 $a,b\in R$, $$\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b),$$$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b).$$

2相关函子

给定环同态 $\phi :R\to S$, 则左 $R$-模范畴和左 $S$-模范畴之间通常有三个由 $\phi$ 诱导的函子. 其中最平凡者是 $S\text{-}\mathsf{Mod}\to R\text{-}\mathsf{Mod}$ 的标量限制, 指的是将 $S$-模沿 $\phi$ 视为 $R$-模, 即对 $S$-模 $N$, 定义其 $R$-模结构为 $rn=\phi (r)n$. 不难看出该函子保持极限、余极限.

标量限制函子有两边的伴随函子. 其左伴随为张量积 $S{\otimes }_R-$, 通常称为标量延拓; 其右伴随为 ${\mathrm{Hom}}_R(S,-)$, 通常称为诱导模. 这里对 $R$-模 $M$, ${\mathrm{Hom}}_R(S,M)$ 的 $S$-模结构定义为 $(sf)(t)=f(ts)$. 此二函子通常不同, 只在一些特殊情况同构.

命题 2.1. 设有 $R$-双模同态 $\mathrm{Tr}:S\to R$, 则可定义对 $R$-模 $M$ 自然的 $S$-模同态$$S{\otimes }_{R}M\to {\mathrm{Hom}}_R(S,M).$$$$s\otimes m\mapsto (t\mapsto \mathrm{Tr}(ts)m)$$只要 $(s,t)\mapsto \mathrm{Tr}(ts)$ 是 $S$ 作为 $R$-模的完美配对, 即 $M=R$ 时该同态是同构, 那么对任意 $M$, 该同态都是同构. 此时标量延拓与诱导模二函子自然同构.

例 2.2. 对群 $G$ 及其有限指数子群 $H$ 还有交换环 $k$, 取 $R=k[H]$, $S=k[G]$ 为群环. 定义 $\mathrm{Tr}:k[G]\to k[H]$ 为把 $k[G]$ 中元素的 $H$ 以外分量全部舍去, 则它满足以上条件. 从而在群表示论中, 从有限指数子群往大群作标量延拓和诱导表示两操作, 其效果是一样的.

例 2.3. 取 $R$ 为交换环, 设 $S$ 作为 $R$-模有限投射. 定义 $\mathrm{Tr}:S\to R$ 为把 $s\in S$ 映射到 “左乘 $s$” 作为 $R$-模同态的迹. 它通常未必是同构, 是同构时就有标量延拓与诱导模一致. 满足这一点的交换 $R$-代数 $S$ 称为有限平展.

3相对观点

Grothendieck 提出, 相比于研究单个的环、代数簇 (或概形), 我们更应该研究环同态与代数簇之间的态射. 这一观点影响深远, 从根本上改变了交换代数、代数几何的研究方式. 几何地看, 概形态射 $X\to Y$ 可认为是被概形 $Y$ 参数化的一个概形族, $X$ 是该族的全空间.

术语翻译

环同态 • 英文 ring homomorphism • 德文 Ringhomomorphismus • 法文 homomorphisme d’anneaux • 拉丁文 homomorphismus anellorum • 古希腊文 ὁμομορφισμός δακτυλίων