箭图表示

在非交换代数和表示论中, 箭图 $Q$ 的箭图表示给 $Q$ 的每个顶点赋予一个向量空间, 给每个箭头赋予一个相应向量空间之间的线性映射.

箭图表示模空间是代数几何研究中的重要对象, 是模空间理论的基本例子.

1定义

定义 1.1 (箭图表示). 设 $Q$ 是箭图, $\mathcal{C}$ 是范畴. 则 $Q$ 在 $\mathcal{C}$ 中的箭图表示是指函子$$X:\mathsf{Free}(Q)⟶\mathcal{C},$$其中 $\mathsf{Free}(Q)$ 是 $Q$ 生成的自由范畴. $Q$ 在 $\mathcal{C}$ 中的箭图表示范畴是指函子范畴$$\mathsf{Rep}(Q,\mathcal{C})=\mathsf{Fun}(\mathsf{Free}(Q),\mathcal{C}).$$

特别地, $Q$ 在域 $k$ 上的箭图表示是指 $Q$ 在 $k$-向量空间的范畴 $\mathcal{C}={\mathsf{Vect}}_k$ 上的箭图表示.

具体而言, 箭图 $Q=(V,E,s,t)$ 在范畴 $\mathcal{C}$ 中的表示由以下信息组成:

•	对 $Q$ 的每个顶点 $v\in V$, 有 $\mathcal{C}$ 中的对象 $X_v$.

•	对 $Q$ 的每条边 $e\in E$, 有 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f_e:X_{s(e)}\to X_{t(e)}$.

对于两个这样的表示 $X=((X_v{)}_{v\in V},(f_e{)}_{e\in E})$ 与 $X^{\prime }=((X_v^{\prime }{)}_{v\in V},(f_e^{\prime }{)}_{e\in E})$, 从 $X$ 到 $X^{\prime }$ 的箭图表示态射, 即相应函子间的自然变换, 可以具体地写成以下信息:

•	对 $Q$ 的每个顶点 $v\in V$, 有 $\mathcal{C}$ 中的态射 $g_v:X_v\to X_v^{\prime }$, 使得对任意 $e\in E$, 有 $\mathcal{C}$ 中的交换图$$X_{s(e)}{X}_{s(e)}^{\prime }{X}_{t(e)}{X}_{t(e)}^{\prime }\text{ .}{g}_{s(e)}{f}_e{f}_e^{\prime }{g}_{t(e)}$$

2相关概念

术语翻译

箭图表示 • 英文 quiver representation • 德文 Köcherdarstellung (f) • 法文 représentation de carquois (f)