箭图代数

在表示论中, 箭图的箭图代数是一个结合代数, 它的模一一对应于该箭图的箭图表示.

1定义

定义 1.1 (路径). 箭图 $Q=(V,E,s,t)$ 的路径是形如$$v_0\stackrel{e_1}{⟶}{v}_1\stackrel{e_2}{⟶}\cdots \stackrel{e_n}{⟶}{v}_n$$的一列箭头, 其中 $n\ge 0$, 并且 $v_i\in V$, $e_i\in E$.

定义 1.2 (箭图代数). 箭图 $Q$ 在域 $k$ 上的箭图代数是以下定义的 $k$-结合代数 $k[Q]$. 作为 $k$-向量空间, 有$$k[Q]=\underset{\text{路径 }p}{⨁}k\cdot x_p,$$这里 $k\cdot x_p$ 是由元素 $x_p$ 生成的一维向量空间. 其乘法定义为$$x_p\cdot x_q=\{\begin{array}{ll}{x}_{pq},& p,q\text{ 可复合},\\ 0,& p,q\text{ 不可复合}.\end{array}$$这里, $p,q$ 可复合的意思是, $p$ 的最后一个顶点与 $q$ 的第一个顶点相同. 此时, $pq$ 表示将两条路径接起来得到的新路径.

2例子

3性质

一般性质

命题 3.1. 箭图 $Q$ 的箭图代数 $k[Q]$ 是有限维 $k$-向量空间, 当且仅当相应箭图仅有有限个顶点、箭头, 且无回路, 即一个顶点到自身的长度大于 $0$ 的路径.

模论

为简便起见, 在下面的讨论中假设箭图代数是有限维的.

命题 3.2. 箭图代数的右模构成的范畴和相应箭图表示构成的范畴等价.

命题 3.3. 在上述对应下, 箭图代数的单模对应于只在某个点取 $k$, 其余点取 $0$, 且所有映射取 $0$ 的表示.

命题 3.4. 对 $k[Q]$ 的任意右模 $V$, 存在正合列$$0\to \underset{\gamma \in E}{⨁}V{e}_{s(\gamma )}\otimes e_{t(\gamma )}A\to \underset{i\in V}{⨁}V{e}_i\otimes e_{i}A\to V\to 0.$$其中第二个映射由$$v\otimes a\mapsto v{x}_{\gamma }\otimes a-v\otimes x_{\gamma }a$$给出, 第三个映射由$$v\otimes a\mapsto va$$给出.

推论 3.5. 箭图代数的同调维数是 $1$.

4相关概念

术语翻译

箭图代数 • 英文 path algebra • 法文 algèbre de carquois