置换群

置换群 (也称为对称群) 是所有 置换构成的, 其中 是非负整数. 换言之, 集合 到自身的所有双射关于映射复合构成的群.

的元素常常用 矩阵来表示. 例如, 的元素表示把 映到 , 把 映到 , …, 把 映到 的置换. 该元素也可以记为 , 即两个轮换 (定义 1.4) 的积.

1定义

定义 1.1 (置换). 集合 上的置换是指 双射.

定义 1.2 (置换群). 集合 上的置换群 上所有置换构成的群, 其乘法定义为 .

特别地, 当 时, 记 , 它是 有限群.

注 1.3. 等价地说, 置换群 集合范畴中的自同构群 .

定义 1.4 (轮换). 在集合 中, 关于不同元素 轮换是指如下定义的置换:

例如, 中有轮换

命题 1.5. 的所有元素都能写成若干个无公共元素的轮换之积.

2例子

都是平凡群.

同构于循环群 .

是最小的非 Abel 群.

3性质

(…)

术语翻译

置换群英文 symmetric group德文 symmetrische Gruppe (f)法文 groupe symétrique (m)