分式

分式为两个多项式 (形式上) 的商, 在它被视为函数时, 也称有理函数. 例如,$$\frac{2x^3-x+7}{x^5-2y^7+x^2{z}^8-3xyz+1}$$是关于三个变元 $x$、$y$、$z$ 的分式.

1定义

分式

定义 1.1 (分式). 设 $A$ 是整环.

•

$A$ 上关于变元 $x$ 的分式是形如两个多项式之商$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}$$的表达式, 其中 $a_i,b_j\in A$ $(i=0,1,\dots ,n,j=0,1,\cdots m)$, 且 $Q(x)\ne 0$ (即 $b_j$ 不全为零). 两个分式 $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$, $\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$ 视为相等, 如果 $P_1(x)Q_2(x)=P_2(x)Q_1(x)$.

•

类似地, $A$ 上关于 $n$ 个变元 $x_1,\dots ,x_n$ 的分式是相应多项式之商, 即形如$$f(x_1,\dots ,x_n)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{{\sum }_{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{a}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}}{{\sum }_{i_1,\dots ,i_n\ge 0}{b}_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}}$$的表达式, 其中 $i_1,\dots ,i_n$ 取遍所有非负整数, $a_{i_1,\dots ,i_n},b_{i_1,\cdots ,i_n}\in A$, 使得这些 $A$ 的元素中, 只有有限个非零, 且 $Q(x)\ne 0$ (即 $b_{i_1,\cdots ,i_n}$ 不全为零). 两个分式 $\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}$, $\frac{P_2(x)}{Q_2(x)}$ 视为相等, 如果 $P_1(x)Q_2(x)=P_2(x)Q_1(x)$.

此时, 多项式 $P(x)$ 可以视为 $\frac{P(x)}{1}$, 从而成为分式.

注 1.2. 如果不要求上述 $A$ 是整环, 则 “相等” 这一关系不传递. 而如果像局部化中那样只要求它们乘一个式子后相等, 则所有分式都会等于 $0$.

固定系数环 $A$ 和变元 $x_1,\cdots ,x_n$ 后, 多项式之间可以做四则运算, 这样全体分式构成一个域, 称为有理函数域, 记为 $A(x_1,\cdots ,x_n)$.

定义 1.3 (四则运算). (...)

注 1.4. 由上述定义, 我们有域同构$$A(x_1,x_2,\dots ,x_n)\simeq A(x_1)(x_2)\cdots (x_n)\simeq A[x_1][x_2]\cdots [x_{n-1}](x_n).$$这说明分式的变元可以逐个引入.

有理函数

(…)

2性质

(…)

3相关概念

•	多项式
•	局部化
•	分式域
•	有理函数域
•	Laurent 级数

术语翻译

分式 • 英文 fraction • 德文 Bruchterm (m) • 法文 fraction (f) • 拉丁文 fractio (f)