序拓扑

序拓扑是全序集上自然带有的拓扑, 是实数上通常拓扑的推广.

1定义

定义 1.1. 全序集 $X$ 的序拓扑指以开区间$$(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\}$$为开集基生成的拓扑.

2例子

•	实数的序拓扑就是其通常拓扑.
•	整数的序拓扑是离散拓扑. 一般地, 如果一个全序集中, 每个非最大元都有大于它的最小元, 每个非最小元都有小于它的最大元, 序拓扑就会是离散拓扑.
•	长直线就是一种序拓扑.
•	序拓扑的子空间未必是序拓扑. $\{0\}\cup (1,+\infty )\subset \mathbb{R}$ 就是一例.

3性质

以下固定全序集 $X$, 带序拓扑.

命题 3.1 (闭包). 对 $A\subseteq X$ 和 $x\in X$, $x\in \bar{A}$ 当且仅当 $x=\sup \{a\in A\mid a\le x\}$ 或 $x=\inf \{a\in A\mid a\ge x\}$.

证明. $x\notin \bar{A}$ 当且仅当存在 $b,c\in X$ 使得 $(b,c)\cap A=\varnothing$ 且 $x\in (b,c)$, 即存在小于 $x$ 的 $b$ 作 $\{a\in A\mid a\le x\}$ 的上界, 存在大于 $x$ 的 $c$ 作 $\{a\in A\mid a\ge x\}$ 的下界, 亦即 $x$ 不是这二者的确界.

$\square$

回忆称子集 $A\subseteq X$ 为凸集, 意思是对任意 $x,y,z\in X$, 只要 $x<y<z$ 且 $x,z\in A$, 就有 $y\in A$.

命题 3.2 (凸分拆). 全序集的子集都可唯一分拆为其极大凸子集的无交并; 称这些极大凸子集为凸分量.

证明. 对 $A\subseteq X$ 以及 $x\in A$, 考虑包含 $x$、含于 $A$ 的所有凸集, 对此用 Zorn 引理即可取出 $x$ 所在凸分量. 由极大性, 不同元素所在的凸分量要么重合要么无交, 故这构成 $A$ 的分拆.

$\square$

以下推论推广了 “$\mathbb{R}$ 中开集都能写成无交开区间的并”.

推论 3.3 (开集结构). $A\subseteq X$ 为开集当且仅当其各个凸分量为开集. 于是 $X$ 中开集恰为那些可写成无交开凸集的并者.

证明. 开集的任意并还是开集, 故只需说明开集的凸分量是开集. 这是因为开区间是凸集, 而开区间构成拓扑基.

$\square$

定理 3.4. 序拓扑都 ${\mathrm{T}}_4$.

证明. 序拓扑的单点集显然是闭集. 取 $X$ 的两个不交闭子集 $A,B$, 下证它们被开集分离. 为此作凸分拆$$A=\bigcup _{i\in I}{A}_i,B=\bigcup _{j\in J}{B}_j,X\setminus (A\cup B)=\bigcup _{k\in K}{W}_k,$$则 $X$ 的全序给出 $I\bigsqcup J\bigsqcup K$ 上的全序. 对 $k\in K$, 假如 $\sup W_k$ 和 $\inf W_k$ 都存在且分属 $A,B$, 取 $w_k\in W_k$. 以下给 $A$ 和 $B$ 的每个凸分量取开邻域, 让相应的并集无交.

对每个 $i\in I$ 写 $A_i=A_i^{+}\cap A_i^{-}$, 其中 $A_i^{+}$ 向上封闭, $A_i^{-}$ 向下封闭. 如 $A_i^{+}$ 开, 令 $U_i^{+}=A_i^{+}$. 如其不开, 则其必有最小元, 且该最小元是 $\sup (X\setminus A_i^{+})$. 现对 $I\bigsqcup J\bigsqcup K$ 中小于 $i$ 的元素分类讨论:

•	如小于 $i$ 的元素中有最大者, 由凸分拆的定义它不可能在 $I$ 中, 由命题 3.1 它不可能在 $J$ 中, 故它只能在 $K$ 中, 设其为 $k$. 取 $w\in W_k$, 且如一开始取过 $w_k\in W_k$ 则取 $w=w_k$. 令 $U_i^{+}=(w,+\infty )$.
•	如小于 $i$ 的元素中无最大者, 由命题 3.1, $i$ 不能是小于 $i$ 的 $J$ 中元素的上确界, 故存在 $\ell \in I\bigsqcup K$, 满足 $\ell <i$, 且 $\ell$ 和 $i$ 之间没有 $J$ 中元素. 由凸分拆的定义, $\ell$ 和 $i$ 之间的元素不能全在 $K$ 中. 故存在 $i^{\prime }\in I$ 满足 $\ell <i^{\prime }<i$. 取 $a\in A_{i^{\prime }}$, 令 $U_i^{+}=(a,+\infty )$.

这样不论如何我们都取出了开集 $U_i^{+}\supseteq A_i^{+}$. 同样地取 $U_i^{-}\supseteq A_i^{-}$. 令 $U_i=U_i^{+}\cap U_i^{-}$, 则 $U_i$ 是 $A_i$ 的开邻域. 再用同样方法取各 $B_j$ 的开邻域 $V_j$. 令$$U=\bigcup _{i\in I}{U}_i,V=\bigcup _{j\in J}{V}_j,$$则容易发现 $U\cap V=\varnothing$.

$\square$

4相关概念

•	正规空间
•	实数

术语翻译

序拓扑 • 英文 order topology • 德文 Ordnungstopologie • 法文 topologie de l’ordre