范数

范数是 Euclid 空间中向量的长度在一般向量空间上的推广.

1定义

定义 1.1. 设 $K$ 是域, $K$ 上的一个绝对值, (或者乘性赋值、范数) 是一个函数 $\left|\cdot \right|:K\to \mathbb{R}$, 满足

•	$\left|x\right|\ge 0$, 且 $\left|x\right|=0$ 当且仅当 $x=0$.
•	$\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$.
•	三角不等式: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$.

若 $K$ 上配备绝对值 $\left|\cdot \right|$, 则称 $K$ 是赋范域.

一般在泛函分析中常取 $K$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 并取相应的绝对值为通常意义下的绝对值. 在 $p$ 进分析中则有时取 $K$ 为 $p$ 进域.

定义 1.2. 设 $V$ 是赋值域 $K$ 上的向量空间, $p$ 是从 $V$ 到 $\mathbb{R}$ 上的函数, 称 $p$ 是

•	正定, 如果对 $x\ne 0$, 有 $p(x)>0$.
•	次可加, 如果 $p(x+y)\le p(x)+p(y)$.
•	半范数, 如果 $p$ 是次可加的, 且对任何 $\alpha \in K,x\in V$, 都有$$p(\alpha x)=\left|\alpha \right|p(x).$$

正定的半范数称为范数, 常记作 $\Vert \cdot \Vert$. 带有范数的向量空间称为赋范向量空间.

2性质

命题 2.1 (与度量的关系). 如 $V$ 有范数 $\Vert \cdot \Vert$, 则它在如下度量下成为度量空间: $$d(x,y)=\Vert x-y\Vert .$$

两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是等价的, 如果它们诱导出同样的度量拓扑. 完备的赋范向量空间称为 Banach 空间.

命题 2.2. $V$ 上的两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 等价当且仅当存在正常数 $c_1,c_2$, 使得对任何 $x\in V$, 都有$$\begin{array}{rl}\Vert x{\Vert }_1& \le c_1\Vert x{\Vert }_2\\ \Vert x{\Vert }_2& \le c_2\Vert x{\Vert }_1.\end{array}$$

证明. 根据度量等价的对应性质即得.

$\square$

命题 2.3 (乘积空间). 设 $V_1,\cdots ,V_n$ 是一族赋范向量空间, 则函数$$\Vert (v_{\alpha })\Vert =\underset{\alpha }{\max }\Vert v_{\alpha }\Vert .$$是直积 $V={\prod }_{\alpha =1}^n{V}_{\alpha }$ 上的范数.

命题 2.4 (商空间). 设 $W$ 为赋范向量空间 $V$ 的闭子空间, 则函数$$\Vert x+W\Vert =\underset{w\in W}{\inf }\Vert x+w\Vert ,$$是商空间 $V/W$ 上的范数.

3例子

以下总假设 $(K,|\cdot |)$ 是赋范域.

例 3.1. 可以在 $K^n$ 上赋予范数$$x⟼{\Vert x\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}$$其中 $p\in [1,+\infty ]$. 可以证明如果 $K$ 的赋值是完备的, 那么任何有限维 $K$-线性空间上的范数彼此等价, 并且是完备的.

例 3.2. 设 $X$ 是拓扑空间, 可定义 $X$ 上的有界连续函数空间 $BC(X,K)$ 上的范数为$$f⟼\Vert f\Vert =\underset{x\in X}{\sup }f(x).$$如果 $K$ 上的赋值是完备的, $BC(X)$ 都是完备的.

例 3.3. 设 $(X,\mathfrak{M},m)$ 是一个测度空间, $p\ge 1$, $L^p$ 空间上的函数$$\Vert f\Vert ={\left({\int }_X{\left|f(x)\right|}^{p}dm\right)}^{1/p}.$$是范数, 即 $L^p$ 范数. 此时 $L^p$ 空间即成为 Banach 空间.

4相关概念

•	半范数
•	Banach 空间

术语翻译

范数 • 英文 norm • 德文 Norm (f) • 法文 norme (f) • 拉丁文 norma (f) • 古希腊文 γνώμων (m)