刚性上同调

刚性上同调是由 P. Berthelot 引入的一种 上同调. 它对某个固定的正特征 的域 上的代数簇 赋予有限维分次 -向量空间 , 其中 是某个具有特征 0 的完备非 Archimedes 域, 以 为剩余域.

完备且光滑, 的一个 Cohen 环 (当 完美域时, Witt 向量环), 的分式域, 则 同构于有理晶体上同调 . 对非完备的代数簇, 有理晶体上同调一般并非有限维; 但刚性上同调总是有限维的.

光滑仿射代数簇的刚性上同调同构于 Monsky–Washnitzer 上同调.

除了上述 “绝对” 版本外, 也可定义具有固定支集的刚性上同调, 具有紧支集的刚性上同调. 更一般地, 这些刚性上同调空间还可以以任何过收敛有理晶体为局部系数.

1定义

常系数

先设定一些记号.

为具有特征 的域. 令 为以 为剩余域的特征为 的完备离散赋值环. 令 的分式域, 并以 来表记其绝对值.

. 对 上的形式概形 , 我们用记号 来代表概形 , 来代表 的 Raynaud 一般纤维 (它是 上的刚性解析簇).

上的代数簇.

与晶体上同调理论不同, 此处不需假设 具有 除幂结构, 因此它可以非常分歧.

定义 1.1 (标架). 包含了代数簇 标架为一系列态射 , 其中 上代数簇, 为开嵌入, 上的形式概形, 为闭嵌入.

定义 1.2 (光滑标架). 称标架 光滑标架, 如果 上形式光滑, 且具有有限拓扑型的形式概形.

定义 1.3 (紧合标架). 称标架 紧合标架, 如果 紧合.

定义 1.4 (管状邻域). 上具有有限拓扑型的仿射形式概形. 设 , . 对 , 定义可以证明, 存在常数 , 若 , 则上述定义只依赖于概形 , 形式概形 , 以及数字 , 而与 选择无关. 因此, 对任何形式概形 , 任何 的局部闭子概形 , 上述局部表达可以整体化而给出 , . 它们分别称作 中的半径为 闭 (开) 管状邻域. 则被简单地称作 管状邻域.

定义 1.5 (严格邻域). 上的刚性解析空间, 可容许开集. 则 的一个严格邻域是指 的可容许开集 , 满足 可容许覆盖.

定义 1.6 (过收敛拉回). 为包含 的标架. 令 为包含态射. 对 上的层 , 定义其过收敛拉回其中 跑遍 中的严格邻域.

定义 1.7 (刚性上同调). 为光滑紧合标架. 则 的 de Rham 复形的过收敛拉回 的超上同调与光滑紧合标架的选择无关. 它的上同调定义为 的 (关于结构系数的) 刚性上同调:

一般系数

还能定义以过收敛晶体为系数的刚性上同调. (...)

2例子

例 2.1., , . 这里 沿着 的完备化. 则 为光滑紧合标架. 此时, , 是单位闭圆盘其中 Tate 代数这里, 的极大理想的一个生成元. 留给读者验证, 代数 的 de Rham 复形具有无限维的 . 实际上, 它等于 的第一个有理晶体上同调, 或者 Ogus 所定义的收敛上同调.

中的任何严格邻域都包含于某个形如的严格邻域中. 上述严格邻域为半径为 的闭圆盘: 这里, 对实数 而这些严格邻域的结构层的过收敛拉回的截面恰为 Monsky–Washnitzer 代数(利用 拟 Stein 域) 这个代数的 de Rham 复形即计算了刚性上同调: 直接计算可知, 这个复形的第零个上同调同构于 , 第一个上同调是平凡的.

术语翻译

刚性上同调英文 rigid cohomology法文 cohomologie rigide

过收敛 (形容词)英文 overconvergent法文 surconvergent

有理晶体英文 isocrystal法文 isocristal (m)