Borel 子群

仿射代数群的 Borel 子群是一类特殊的子群. 在一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$ 中, 所有上三角矩阵构成的子群是 Borel 子群. 对一般的仿射代数群而言, Borel 子群是上三角矩阵的概念的类比.

1定义

定义 1.1 (Borel 子群). 设 $G$ 为代数闭域 $k$ 上的仿射代数群. 其 Borel 子群是指 $G$ 中极大的 Zariski 闭、连通、既约的可解子群. 对一般域上的仿射代数群, 其 Borel 子群指的是基变换到代数闭域之后 Borel 的子群.

注 1.2. 由于连通、既约的代数群都整, 由域上有限型概形维数有限, 容易看出代数闭域上的仿射代数群都有 Borel 子群. 不过一般域上未必.

2性质

定理 2.1. 设 $G$ 为代数闭域 $k$ 上的仿射代数群, $B$ 是其一个 Borel 子群. 则:

•	$G/B$ 紧合.
•	$G$ 的任意 Borel 子群都与 $B$ 共轭.
•	$N_G(B)/B$ 有限. 这称为 $G$ 的 Weyl 群.

3例子

•	一般线性群 $\mathrm{GL}(n)$、特殊线性群 $\mathrm{SL}(n)$ 中, 所有上三角矩阵构成的子群是 Borel 子群.

•

特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$、辛群 $\mathrm{Sp}(2n)$ 的 Borel 子群可以如下描述. 记 $n\times n$ 矩阵$$J_n=\left(\begin{array}{ccc}& & 1\\ & ⋰& \\ 1& & \end{array}\right).$$我们以下面的方式将特殊正交群、辛群的元素看作矩阵: $$\begin{array}{rl}\mathrm{SO}(n)& =\{A\in \mathrm{GL}(n)\mid A^{\top }{J}_{n}A=J_n,\det A=1\},\\ \mathrm{Sp}(2n)& =\{A\in \mathrm{GL}(2n)\mid A^{\top }(\begin{array}{cc}& J_n\\ -J_n& \end{array})A=(\begin{array}{cc}& J_n\\ -J_n& \end{array})\}.\end{array}$$则由上三角矩阵构成的子群是它们的 Borel 子群 [Malle–Testerman 2011, Example 6.7].

4相关概念

•	Borel 子代数
•	极大环面
•	抛物子群
•	旗簇

5参考文献

•	Gunter Malle, Donna Testerman (2011). Linear Algebraic Groups and Finite Groups of Lie Type. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 133. Cambridge University Press. (doi) (zbMATH)

术语翻译

Borel 子群 • 英文 Borel subgroup • 德文 Borel-Untergruppe (f) • 法文 sous-groupe de Borel (m)