万有构造

万有构造 (或泛构造) 是范畴论中的一类构造, 常见于数学的诸多领域中, 是指如下的过程: 为了构造某一未知的数学对象 , 我们要求 满足万有性质 (或泛性质), 可以是以下两者之一:

对任何对象 , 为了给出 的映射, 只需给出某种与 有关的信息, 但不提及 .

对任何对象 , 为了给出 的映射, 只需给出某种与 有关的信息, 但不提及 .

下面 §1 中有一些直观的例子. 这里, “万有” 是指该性质需要 “对一切 ” 都满足.

更准确地说, 满足某种万有性质, 是说:

通过 Yoneda 嵌入所得的可表函子同构于某个预先给定的函子.

Yoneda 引理, 通过万有构造得到的对象如果存在, 则必在同构意义下唯一. 因此可以说:

万有构造就是通过指定一个可表函子, 来指定一个对象.

范畴论中很多重要概念都是由万有构造定义的, 包括可表函子伴随函子Kan 扩张余极限极限等等.

1想法

万有构造在数学中几乎无处不在. 例如:

集合 而言, 映射 常常写为 的形式, 这里 分别是 的映射. 这即是 Descartes 积 的万有性质. 具体地说, 集合 满足这一万有性质, 是说:

对任何集合 , 为了给出 的映射, 只需给出一个 的映射和一个 的映射.

这一性质唯一决定了 , 并保证它一定是 .

而言, 为给出环同态 , 只需给出一个同态 , 及一个元素 , 后者决定 映到哪里. 这是 的万有性质, 这一性质唯一决定了 .

向量空间 而言, 为给出线性映射 , 只需给出一个双线性映射 . 这就是张量积 的万有性质.

当然, 这种构造方式并不总是良好定义的. 可能有两个问题:

存在性: 给定一种万有性质, 可能并没有任何对象 满足该万有性质.

唯一性: 可能有多个 都满足同一万有性质.

这里, 唯一性总是没有问题的, 因为由 Yoneda 引理, 所有满足同一万有性质的对象一定同构. 但一般而言, 存在性通常并没有保证, 所以需要额外验证.

2定义

定义 2.1 (万有构造).范畴.

给定函子 , 称对象 满足 所确定的 (协变) 万有性质, 如果有自然同构

给定函子 , 称对象 满足 所确定的 (反变) 万有性质, 如果有自然同构

在以上两种情况下, 如果这样的 存在, 则由 Yoneda 引理, 它在同构意义下唯一. 我们称之为关于 万有构造.

3例子

4相关概念

术语翻译

万有构造英文 universal construction德文 universelle Konstruktion (f)法文 construction universelle (f)

万有性质英文 universal property德文 universelle Eigenschaft (f)法文 propriété universelle (f)