同伦拉回

同伦拉回是拉回 (范畴论) 在同伦意义下的推广, 即在我们只关心同伦等价意义下不变的信息的拉回时, 我们所得到的概念就是同伦拉回. 模型范畴中的同伦拉回是一种辅助构造对应 $(\infty ,1)$-范畴中拉回的有效手段.

1定义

同伦拉回分为拓扑空间, 模型范畴以及同伦类型论三种版本.

拓扑空间中

定义 1.1. 给定拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 中的图表$$BCD,fg$$该图表的同伦拉回 $B{\times }_D^{h}C$ 定义为$$B{\times }_D^{h}C:=B{\times }_{D,s}{D}^{[0,1]}{\times }_{D,t}Y$$此处 $s$ 和 $t$ 分别表示 $D$ 中道路的起点和终点, 更具体地, 可以将 $B{\times }_D^{h}C$ 刻画为$$B{\times }_D^{h}C=\{(b,p,c)\in B\times D^{[0,1]}\times C\mid p(0)=f(b),p(1)=g(c)\}.$$记 $p_B:B{\times }_D^{h}C\to B$ 和 $p_C:B{\times }_D^{h}C\to C$ 为投影态射, 记 $H:(B{\times }_D^{h}C)\times [0,1]\to D,((b,p,c),t)\mapsto p(t)$ 为由前述信息所给出的同伦. 则同伦拉回是指同伦意义下的交换图表$$B{\times }_D^{h}CBCD,p_C{p}_{B}fgH$$它满足以下万有性质: 对任意拓扑空间 $A$, 给定态射 $l:A\to B{\times }_D^{h}C$ 相当于给定一对态射 $(l_B:A\to B,l_C:A\to C)$ 使得 $f\circ l_B\simeq f\circ l_C$.

模型范畴中

定义 1.2. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $I$ 为范畴, 则 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})$ 上的内射模型结构是指以下模型结构:

•	余纤维化逐点定义为 $\mathcal{C}$ 中的余纤维化;
•	弱等价逐点定义为 $\mathcal{C}$ 中的弱等价;
•	纤维化定义为关于平凡余纤维化具有右提升性质的态射.

在模型范畴中, 同伦拉回的定义需要使用到以下事实:

命题 1.3. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $I$ 为由图表$$(1,0)(0,1)(1,1)$$所生成的范畴. 则 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})$ 上带有内射模型结构. 此时, 有 Quillen 伴随$$\mathrm{const}⊣\underset{I}{\lim }.$$此处 $\mathrm{const}:\mathcal{C}\to \mathsf{Fun}(I,\mathcal{C})$ 为常值函子. 因此对于任意函子 $F:I\to \mathcal{C}$ 以及任意对象 $X$, 都有伴随$$\mathrm{Ho}(\mathsf{Fun}(I,\mathcal{C}))(\mathrm{const}X,F)\simeq \mathrm{Ho}(\mathcal{C})(X,\mathbb{R}\lim F).$$

定义 1.4. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 称 $\mathcal{C}$ 中的交换图$$X{X}^{\prime }Y{Y}^{\prime }xf{f}^{\prime }y$$为同伦拉回是指 $X$ 为函子 $X^{\prime }\to Y^{\prime }\leftarrow Y$ 的 $\mathbb{R}\lim$.

同伦类型论中

2性质

模型范畴中

命题 2.1. 由于组合的单纯中的同伦极限即为对应 $(\infty ,1)$-范畴中的极限, 因此同伦拉回也可转为对应 $(\infty ,1)$-范畴中的拉回.

以下命题可以辅助构造 $(\infty ,1)$-范畴中的拉回.

命题 2.2. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 考虑 $\mathcal{C}$ 中的拉回图表$$X{X}^{\prime }Y{Y}^{\prime },xf{f}^{\prime }y$$若 $X$ 和 $X^{\prime }$ 为纤维性对象, 且 $f$ 为纤维化, 则其为同伦拉回图表.

3例子

4参考文献

•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
•	Denis-Charles Cisinski (2019). Higher Categories and Homotopical Algebra. Cambridge University Press.

另可参见

•	讲义: 同伦代数与同调代数/极限与伴随

相关概念

•	拉回 (范畴论)
•	模型范畴
•	(∞,1)-极限