(∞,1)-意象

$(\infty ,1)$-意象是意象在高阶范畴论中的推广. 与意象类似, $(\infty ,1)$-意象也可以从不同角度理解:

•	意象是某个景上所有集合层构成的范畴, 这些集合层视为该景中的广义对象. 类似地, $(\infty ,1)$-意象可以是 $(\infty ,1)$-景上取值于空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$ 的所有 $(\infty ,1)$-层构成的 $(\infty ,1)$-范畴, 其对象可以视为原来的 $(\infty ,1)$-景中的广义对象. 这样, 整个 $(\infty ,1)$-意象就是所有广义对象的 $(\infty ,1)$-范畴, 具有类似空间 $(\infty ,1)$-范畴的良好性质.

•	另一方面, $(\infty ,1)$-意象自身也可以视为抽象的空间. 例如, 在代数几何中, 常常将概形的平展意象、平坦意象等视为概形本身的代表. 类似地, 在导出代数几何中, 则考虑概形的平展 $(\infty ,1)$-意象、平坦 $(\infty ,1)$-意象等.

需要注意, 与普通意象不同, $(\infty ,1)$-意象并不总能通过 $(\infty ,1)$-景上的 $(\infty ,1)$-层范畴得到.

1定义

定义 1.1. 称 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{X}$ 为 $(\infty ,1)$-意象, 若满足以下条件:

•	存在小 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 使得 $\mathcal{X}$ 可以写成预层 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{P}(\mathcal{C})=\mathsf{Fun}({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}},\mathsf{S})$ 的可达左正合局部化 $\mathcal{P}(\mathcal{C})\to \mathcal{X}$.

2例子

•	某个 $(\infty ,1)$-景上取值于空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$ 的所有 $(\infty ,1)$-层构成的 $(\infty ,1)$-范畴是 $(\infty ,1)$-意象. 特别地, $\mathsf{S}$ 自身是 $(\infty ,1)$-意象.

3相关概念

术语翻译

$(\infty ,1)$-意象 • 英文 $(\infty ,1)$-topos • 德文 $(\infty ,1)$-Topos (m) • 法文 $(\infty ,1)$-topos (m)