Borel–Carathéodory 定理

约定. 在本文中,

• $e(s)$ 表示复指数函数 $e^{2\pi is}$

在复分析中, Borel–Carathéodory 定理一般指以下用于估计解析函数幂级数系数的工具:

定理 0.1 (Borel–Carathéodory). 若 $h(z)$ 在包含 $|z|\le R$ 的开集内解析满足 $h(0)=0$, 当存在 $M>0$ 使 $\Re [h(z)]\le M$ 对在 $|z|=R$ 上成立时, 则下列不等式$$|h(z)|\le \frac{2Mr}{R-r}$$$$|h^{\prime }(z)|\le \frac{2MR}{(R-r{)}^2}$$对一切 $|z|\le r<R$ 都成立.

1证明

$|h^{(n)}(0)|$ 的上界

为了方便后续的表示, 设 $a_n$ 为 $h(z)$ 幂级数展开式中 $z^n$ 的系数, 则有:

$$h(z)=\sum _{n\ge 1}{a}_n{z}^n$$

这意味着我们可以通过设置 $z=R\cdot e(u)$ 的方式来得到 $a_n$ 的计算公式:

$${\int }_0^{1}h(R\cdot e(u))e(-nu)\mathrm{d}u=R^n{a}_n(n\ge 1)$$(1)

另一方面, 还有:

$${\int }_0^{1}h(R\cdot e(u))e(nu)\mathrm{d}u=0(n\ge 0)$$(2)

现在我们不妨设 ${\theta }_n\in \mathbb{R}$ 满足 $a_n=|a_n|e({\varphi }_n)$, 则可将 (1) 转化成:

$${\int }_0^{1}h(R\cdot e(u))e(-n(u+{\varphi }_n))\mathrm{d}u=|a_n|R^n$$(3)

现在将 (2) 和 (3) 相结合, 便有:

$$\begin{array}{rl}|a_n|R^n& ={\int }_0^{1}h(R\cdot e(u))[1+\cos (2\pi (u+{\varphi }_n))]\mathrm{d}u\\ & ={\int }_0^1\Re [h(R\cdot e(u))][1+\cos (2\pi (u+{\varphi }_n))]\mathrm{d}u\\ & \le M{\int }_0^1[1+\cos (2\pi (u+{\varphi }_n))]\mathrm{d}u\le 2M\end{array}$$

最后通过移项可得 $|a_n|\le 2M/R^n$, 所以:

引理 1.1. 若 $h(z)$ 在包含 $|z|\le R$ 的开集内解析, 满足 $h(0)=0$, 则当存在 $M>0$ 使 $\Re [h(z)]\le M$ 对一切 $|z|=R$ 上成立时总有: $$\left|\frac{h^{(n)}(0)}{n!}\right|\le \frac{2M}{R^n}$$

$|h(z)|$ 和 $|h^{\prime }(z)|$ 的上界估计

利用几何级数的性质:

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots =\sum _{n\ge 0}{x}^n$$(4)

可知:

$$|h(z)|\le \sum _{n\ge 1}|a_n|r^n\le 2M\sum _{n\ge 1}{\left(\frac{r}{R}\right)}^n=\frac{2Mr}{R-r}$$(5)

现在对 (4) 两侧求导, 可知:

$$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{n\ge 1}n{x}^{n-1}$$

这意味着:

$$\begin{array}{rl}|h^{\prime }(z)|& \le \sum _{n\ge 1}n|a_n|r^n\le \frac{2M}{R}\sum _{n\ge 1}n{\left(\frac{r}{R}\right)}^n\\ & =\frac{2MR}{(R-r{)}^2}\end{array}$$

至此定理 0.1 证毕.

注 1.2. 事实上 (5) 可以在只依赖 Schwarz 引理的情况下证明, 参见 [Tit02, §5.5].

2应用

整函数的零点展开式

定理 2.1. 若函数 $f(s)$ 在区域 $|s-s_0|\le r$ 内正则且存在 $M>0$ 使得在这个区域内 $|f(s)/f(s_0)|\le e^M$, 则当 $\rho$ 遍历所有 $f(s)$ 在 $|s-s_0|\le r/2$ 内的零点时, 存在固定的 $A>0$ 使得当 $|s-s_0|\le r/4$ 时总有: $$\left|\frac{f^{\prime }}{f}(s)-\sum _{\rho }\frac{1}{s-\rho }\right|\le \frac{AM}{r}$$

证明. 现在设 $g(s)=f(s){\prod }_{\rho }(s-\rho {)}^{-1}$, 则根据最大模原理可知当 $|s-s_0|=r$ 时: $$\begin{array}{rl}\left|\frac{g(s)}{g(s_0)}\right|& \le e^M\prod _{\rho }{\left|\frac{s-\rho }{s_0-\rho }\right|}^{-1}=e^M\prod _{\rho }{\left|1+\frac{s-s_0}{s-\rho }\right|}^{-1}\\ & \le e^M\prod _{\rho }{\left(\left|\frac{s-s_0}{s-\rho }\right|-1\right)}^{-1}\le e^M\end{array}$$现在设 $h(z)=\log [g(s_0+z)/g(s_0)]$, 则其在 $|z|\le r/2$ 内正则, 且当 $|z|=r/2$ 时有 $\Re [h(z)]\le M$. 因此对其套用定理 0.1 可知当 $|z|\le r/4$ 时: $$|h^{\prime }(z)|\le \frac{2M\cdot \frac{r}{2}}{(\frac{r}{2}-\frac{r}{4}{)}^2}=\frac{16M}{r}$$又因为: $$h^{\prime }(z)=\frac{g^{\prime }}{g}(s_0+z)=\frac{f^{\prime }}{f}(s_0+z)-\sum _{\rho }\frac{1}{s_0+z-\rho }$$所以将两式联立就可以发现此定理在 $A=16$ 时成立.

$\square$

对定理 2.1 的展开式取实部, 便能得到 $f^{\prime }/f$ 实部的上界估计:

推论 2.2. 若 $f(s)$ 满足定理 2.1 的条件, 则当 $f(s)$ 在圆 $|s-s_0|\le r$ 的右半部分没有零点时, 有:

$$-\Re \frac{f^{\prime }}{f}(s_0)\le \frac{AM}{r}$$

特别地, 倘若零点 ${\rho }_0$ 位于以 $s_0-r/2$ 和 $s_0$ 为端点构成的线段上, 则有:

$$-\Re \frac{f^{\prime }}{f}(s_0)\le \frac{AM}{r}-\frac{1}{s_0-{\rho }_0}$$

推论 2.3. 若 $f(s)$ 满足定理 2.1 的条件且在 $s=s_0$ 时满足: $$\left|\frac{f^{\prime }}{f}(s_0)\right|\le \frac{M}{r}$$则当 $f(s)$ 在圆 $|s-s_0|\le r$ 内区域 $\sigma \ge {\sigma }_0-2r^{\prime }>{\sigma }_0-r/2$ 中非零时存在 $A>0$ 使: $$\left|\frac{f^{\prime }}{f}(s)\right|\le \frac{AM}{r}$$对一切 $|s_0-s|\le r^{\prime }$ 均成立.

证明. 利用定理 2.1 可知在 $|s_0-s|\le 2r^{\prime }$ 中存在 $A_0>0$ 使: $$-\frac{f^{\prime }}{f}(s)\le \frac{AM}{r}$$因此将 $h(z)=-\frac{f^{\prime }}{f}(s_0+z)+\frac{f^{\prime }}{f}(s_0)$ 代入到 Borel–Carathéodory 定理中就可以发现当 $|s_0-s|\le r^{\prime }$ 时总有: $$\left|\frac{f^{\prime }}{f}(s)\right|\le \frac{(A_0+1)M}{r}\cdot \frac{r^{\prime }}{2r^{\prime }-r^{\prime }}=\frac{A_0+1}{2}\frac{M}{r}$$

$\square$

注 2.4. 这几个结论源自 [Tit86, §3.9].

3相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Dirichlet $L$ 函数
•	Schwarz 引理
•	整函数

参考文献

[Mon07]	Montgomery, H. L., & Vaughan, R. C. (2007). Multiplicative number theory I: Classical theory. Cambridge University Press.
[Tit02]	Titchmarsh, E. C. (2002). The theory of functions (2. ed., reprinted). Oxford Univ. Press.
[Tit86]	Titchmarsh, E. C., & Heath-Brown, D. R. (1986). The theory of the Riemann zeta-function (2nd ed). Oxford University Press.