Hurwitz ζ 函数

约定. 在本文中,

• $s$ 表示以 $\sigma$ 为横坐标、$t$ 为纵坐标的复数.

在解析数论中, Hurwitz zeta 函数一般指在 $\sigma >1$ 时满足:

$$\zeta (s,a)=\sum _{n\ge 0}\frac{1}{(n+a{)}^s},$$(1)

其中 $a\in (0,1]$.

1基本性质

结合 (1), 显见:

命题 1.1 (与 Riemann $\zeta$ 函数的关系). $$\zeta (s,1)=\zeta (s)$$

命题 1.2 (与 Dirichlet $L$ 函数的关系). 若 $\chi$ 为模 $q$ 的 Dirichlet 特征, 则有: $$L(s,\chi )=\frac{1}{q^s}\sum _{1\le r\le q}\chi (r)\zeta \left(s,\frac{r}{q}\right)$$

证明. 将 $L(s,\chi )$ 的求和范围根据模 $q$ 的同余类分解, 便有: $$L(s,\chi )=\sum _{1\le r\le q}\chi (r)\sum _{k\ge 0}\frac{1}{(kq+r{)}^s}$$将右侧的 $q^{-s}$ 提出来即得结论.

$\square$

2解析延拓

参见: Bernoulli 多项式

利用 Euler–Maclaurin 公式, 可知 $\zeta (s,a)$ 的级数表达式满足:

$$\zeta (s,a)=\frac{a^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2a^s}-s{\int }_a^{\infty }\frac{{\overline{B}}_1(x-a)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x$$(2)

由于最右侧的积分在 $\sigma >-1$ 时皆收敛所以 (2) 可以被看作 $\zeta (s,a)$ 的解析延拓. 现在我们不妨将 $\sigma$ 范围缩小至 $-1<\sigma <0$, 则根据:

$$\begin{array}{rl}\frac{a^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2a^s}& =-{\int }_0^a{x}^{-s}\mathrm{d}x-\frac{s}{2}{\int }_0^a{x}^{-s-1}\mathrm{d}x\\ & =-{\int }_0^a{x}^{-s}\mathrm{d}(x-a)-\frac{s}{2}{\int }_0^a{x}^{-s-1}\mathrm{d}x\\ & =-s{\int }_0^a\frac{(x-a)-\frac{1}{2}}{x^{s+1}}\mathrm{d}x=-s{\int }_0^a\frac{{\overline{B}}_1(x-a)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x,\end{array}$$

可知 $-1<\sigma <0$ 时总有:

$$\zeta (s,a)=-s{\int }_0^{\infty }\frac{{\overline{B}}_1(x-a)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x.$$

现在代入 ${\overline{B}}_1(x)$ 的 Fourier 展开:

$${\overline{B}}_1(x)=\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{-2\pi int}}{2\pi in},$$

则有:

$$\begin{array}{rl}\zeta (s,a)& =-s\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{2\pi ina}}{2\pi in}{\int }_0^{\infty }{x}^{-s-1}{e}^{-2\pi inx}\mathrm{d}x\\ & =-s\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{2\pi ina}}{2\pi in}\frac{\Gamma (-s)}{(2\pi in{)}^{-s}}\\ & =(2\pi {)}^{s-1}\Gamma (1-s)\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{2\pi ina}}{(in{)}^{1-s}}.\end{array}$$

由于 $\sigma >1$ 时

$$\sum _{n\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\frac{e^{2\pi ina}}{(in{)}^s}=i^{-s}\sum _{n\ge 1}\frac{e^{2\pi ina}}{n^s}+i^s\sum _{n\ge 1}\frac{e^{-2\pi ina}}{n^s},$$

所以合并起来就有:

定理 2.1 (Hurwitz). 定义周期 $\zeta$ 函数$$F(x,s)=\sum _{n\ge 1}\frac{e^{2\pi ixn}}{n^s},$$则当 $\sigma >1$ 时总有$$\zeta (1-s,a)=\frac{\Gamma (s)}{(2\pi {)}^s}\left[e^{-\pi is/2}F(a,s)+e^{\pi is/2}F(-a,s)\right].$$

代入 $a=1$ 便得 $\zeta (s)$ 的函数方程:

推论 2.2. 当 $\sigma >1$ 时: $$\zeta (1-s)=2(2\pi {)}^{-s}\cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (s)\zeta (s).$$当 $\sigma <0$ 时: $$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s).$$

3相关概念

•	Riemann $\zeta$ 函数
•	Dirichlet $L$ 函数