Waldhausen S 构造

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.
• 对自然数 $n$, 以 $[n]$ 表示偏序集 $\{0,1,\dots ,n\}$, 视为范畴.
• $\mathsf{Ar}(\mathcal{C})$ 指范畴 $\mathcal{C}$ 的箭头范畴, 即函子范畴 $\mathsf{Fun}([1],\mathcal{C})$.
• $\iota \mathcal{C}$ 指范畴 $\mathcal{C}$ 的对象群胚, 即只保留 $\mathcal{C}$ 中的同构得到的群胚.

Waldhausen $\mathbf{S}$ 构造是代数 $K$ 理论的具体构造中适用范围最广者, 由 Friedhelm Waldhausen 于 1983 年给出, 虽然 Waldhausen 本人把它归功于 Segal. 该构造给出 Waldhausen 范畴的 $K$ 理论.

1定义

定义 1.1 ($S$ 构造). 设 $\mathcal{C}$ 是 Waldhausen 范畴. 其 $\mathbf{S}$ 构造指单纯 Waldhausen 范畴 $S_{\bullet }\mathcal{C}$, 其中 $S_n\mathcal{C}\subseteq \mathsf{Fun}(\mathsf{Ar}[n],\mathcal{C})$ 指满足如下条件的对象 $x:\mathsf{Ar}[n]\to \mathcal{C}$ 生成的满子范畴:

•	对 $0\le i\le n$, $x_{i,i}=0$;
•	对 $0\le i<j<n$, $x_{i,j}\to x_{i,j+1}$ 是余纤维化, 且$$x_{i,j}{x}_{i,j+1}{x}_{i+1,j}{x}_{i+1,j+1}$$是推出图表;

其单纯范畴结构由 $\mathsf{Fun}(\mathsf{Ar}[n],\mathcal{C})$ 关于 $[n]$ 的函子性给出. 换言之, $S_n\mathcal{C}$ 是如下形状的图表构成的范畴$$0x_{0,1}\cdots x_{0,n-1}{x}_{0,n}0\cdots x_{1,n-1}{x}_{1,n}\ddots ⋮⋮0x_{n-1,n}0$$其中 $\rightarrowtail$ 是余纤维化, 所有的方块都是推出.

注 1.2. $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{0,\bullet }$ 给出范畴等价 $S_n\mathcal{C}\cong \mathsf{Fun}([n],\mathrm{cof}\mathcal{C})$. 但作为单纯范畴, $S_{\bullet }\mathcal{C}$ 与 $\mathsf{Fun}([\bullet ],\mathrm{cof}\mathcal{C})$ 不同, 因为它们的边缘映射不同.

定义 1.3 ($K$ 理论). Waldhausen 范畴 $\mathcal{C}$ 的 $\mathbf{K}$ 理论 $K(\mathcal{C})$ 指 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群 $\Omega |\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|$, 其中:

•	$\iota$ 指对单纯 Waldhausen 范畴逐项取对象群胚, 带上有限余积给出的 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群结构, 故 $\iota S_{\bullet }\mathcal{C}$ 是单纯 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群;
•	$\left|-\right|$ 指单纯对象的几何实现, 即沿 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 取余极限, 故 $|\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群;
•	$\Omega$ 指取环路空间, 故最终 $K(\mathcal{C})=\Omega |\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|$ 是 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群.

显然, $K$ 理论对 Waldhausen 范畴的正合函子有函子性, 给出函子 $K:\mathsf{Wald}\to {\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$. 由于 $S_0\mathcal{C}=0$, $S_1\mathcal{C}=\mathcal{C}$, 映射 $\iota \mathcal{C}=\iota S_1\mathcal{C}\to \Omega |\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|$ 给出 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群自然同态 $\iota \Rightarrow K:\mathsf{Wald}\to {\mathbb{E}}_{\infty }\text{-}\mathsf{Mon}$. 对象 $x\in \mathcal{C}$ 在该映射下的像称为 $x$ 的 $\mathbf{K}$ 类.

2直观

上一节的构造看似复杂、抽象, 实则无非是$$\text{每有推出图表 }AB0C\text{ 就令 [B]=[A]+[C]}$$(1)的高阶代数版本, 本节详述这一直观. 为此先回忆高阶代数中的幺半群.

定义 2.1 (幺半群). 幺半群指单纯生象 $X:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Ani}$, 满足对任意自然数 $n$, $[1]$ 到 $[n]$ 的 $n$ 个映射 $(0\mapsto i-1,1\mapsto i)$, $i=1,\dots ,n$ 合起来诱导的映射 $X_n\to X_1^n$ 是同构. 称 $X_1$ 为该幺半群的底生象. 幺半群的同态就是单纯生象的映射, 它们构成的范畴记作 $\mathsf{Mon}$, 依定义是 $\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 的满子范畴.

注 2.2. 在定义 2.1 中:

•	令 $n=0$, 得 $X_0=X_1^0$ 为单点. 唯一的映射 $[1]\to [0]$ 诱导的 $X_0\to X_1$ 就是幺元.
•	令 $n=2$, 得 $X_2=X_1^2$, 两个投影分别对应于取单形 $\{0,1,2\}$ 的边 $\{0,1\}$ 与 $\{1,2\}$. 取第三条边 $\{0,2\}$ 诱导的映射 $X_2\to X_1$ 就是二元乘法.
•	一般地对 $n\ge 2$, $\{0,n\}\subseteq \{0,1,\dots ,n\}=[n]$ 诱导的映射 $X_n\to X_1$ 就是 $n$ 元乘法, 而关于 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 的函子性正是同伦连贯的结合律. 特别地, ${\pi }_0(X_1)$ 是经典幺半群.

再回忆高阶代数中的群.

定义 2.3 (群). 对幺半群 $X$, 以下条件等价:

1.	${\pi }_0(X_1)$ 是经典群.
2.	单形 $[2]$ 的任两条边诱导的映射 $X_2\to X_1^2$ 都是同构.

满足条件的幺半群称为群. 它们构成的范畴记作 $\mathsf{Grp}$, 依定义是 $\mathsf{Mon}$ 的满子范畴.

经典代数中, 任给元素与关系, 可以从它们出发万有地得到 (幺半) 群, 所得即为这些元素与关系所表现的 (幺半) 群. 高阶代数中也是如此, 其中高阶的元素与关系可以由一般的、未必是 (幺半) 群的单纯生象所表达.

命题 2.4. 两个含入函子 $\mathsf{Grp}\to \mathsf{Mon}\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})$ 都有左伴随. 它们显然穿过带基点范畴 $\mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani}{)}_{\ast }$; 含入函子 $\mathsf{Grp}\to \mathsf{Fun}({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani}{)}_{\ast }$ 的左伴随是 $\Omega |-|$, 即几何实现的环路空间, 以环路复合为群结构.

万事俱备, 我们回到 $K$ 理论. 鉴于 (1) 给出 $K_0$ 的定义, 我们只要把它合理推广到高阶, 就会得到高阶 $K$ 理论的定义. 为此首先要把对象集合换成对象群胚, 其次要考察可能的高阶关系, 把它写成一个单纯集 $S$, 最后对 $S$ 用命题 2.4 中的左伴随来获得群. 先考察 $S$ 的低阶部分. $S_1$ 作为群的生成元, 自然就是范畴的对象群胚. $S_2$ 表达二元加法之间的关系, 而这由 (1) 给出, 故自然的取法就是形如 (1) 中的推出图表组成的群胚, 把图表打到 $A,B,C$ 分别对应于 $\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\}\subseteq \{0,1,2\}$ 诱导的边缘映射. 容易发现这就是定义 1.1 中的 $S_1$ 与 $S_2$. 除此之外, 我们还希望有以下高阶关系: 例如有余纤维化$$A_1\rightarrowtail A_2\rightarrowtail A_3,$$则二元加法之间的关系给出$$[A_3][A_1]+[A_3/A_1][A_2]+[A_3/A_2][A_1]+[A_2/A_1]+[A_3/A_2]$$其中两种把左上角 $K$ 类等同于右下角 $K$ 类的方式应当等同. 这种关系正由定义 1.1 中的 $S_3$ 表达. 以此类推, 可知定义 1.1 恰表达了 $K$ 类之间所有的高阶关系, 而定义 1.3 中的 $K$ 理论正是这些关系表现的群.

注 2.5. 定义 1.3 中的群结构看似与上述群结构不同, 实则无碍: 由 Eckmann–Hilton 论证适当的高阶版本, 交换幺半群范畴的幺半群对象还是交换幺半群, 且两个幺半群结构典范地相同; 于是只需注意到 $S$ 构造对有限余积有函子性, 即可发现定义 1.3 中的群结构与我们想要的群结构相同, 且是交换群.

3性质

本节的主要目标是证明如下万有性质:

定理 3.1. $K$ 理论是 Waldhausen 范畴的仰于 $\iota :\mathsf{Wald}\to \mathsf{Ani}$ 下的加性不变量之中初始者.

定理 3.2. $K$ 理论是 Waldhausen 范畴的有限加性不变量. 换言之:

•	$K:\mathsf{Wald}\to {\mathsf{Sp}}_{\ge 0}$ 与滤余极限交换.
•	$K(0)=0$.
•	对任意 Waldhausen 范畴 $\mathcal{C}$, $S_2\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{C}$ 的正合函子 $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{0,1}$ 和 $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{1,2}$ 在 $K$ 理论上给出的映射$$K(S_2\mathcal{C})\to K(\mathcal{C})\times K(\mathcal{C})$$是同构.

证明. 前两条为显然, 下证最后一条. 由于$$x\mapsto \left(00x0x0\right)$$(2)给出 $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{1,2}$ 的截面, 而 $K$ 理论取值为 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群, 故只需证$$K(\mathcal{C})\to K(S_2\mathcal{C})\to K(\mathcal{C})$$是纤维列, 这里第一个箭头由 (2) 给出, 第二个箭头由 $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{0,1}$ 给出. 为此只需证$$|\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|\to |\iota S_{\bullet }{S}_2\mathcal{C}|\to |\iota S_{\bullet }\mathcal{C}|$$(3)是纤维列. 注意对任一 Waldhausen 范畴 $\mathcal{D}$, (2) 和 $x_{\bullet ,\bullet }\mapsto x_{0,1}$ 给出的$$\iota \mathcal{D}\to \iota S_2\mathcal{D}\to \iota \mathcal{D}$$都是纤维列; 对每个自然数 $n$ 取 $\mathcal{D}=S_n\mathcal{C}$, 知 (3) 逐项是纤维列, 即$$\iota S_{\bullet }\mathcal{C}\to \iota S_{\bullet }{S}_2\mathcal{C}\to \iota S_{\bullet }\mathcal{C}$$是单纯生象的纤维列. 要证明它的余极限还是纤维列.

$\square$

4参考文献

Clark Barwick (2016). “On the algebraic $K$-theory of higher categories”. Journal of Topology 9 (1), 245–347. (doi) (web)

5相关概念

•	Waldhausen 范畴

术语翻译

Waldhausen $S$ 构造 • 英文 Waldhausen $S$-construction