伴随函子定理

伴随函子定理是在可表现范畴中抽象地得到伴随函子存在性的方法.

1定理与证明

定理 1.1. 可表现范畴之间的函子有右伴随当且仅当其保持余极限, 有左伴随当且仅当其可达且保持极限.

证明. 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 为可表现范畴.

如果 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 有右伴随, 它当然保持余极限.

反过来如果 $F$ 保持余极限, 要证明它有右伴随. 由 $\mathcal{C}$ 可表现, 取正则基数 $\kappa$ 使得 $\mathcal{C}$ 由 $\kappa$-紧对象子范畴 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 生成. 定义函子 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 为$$Gd=\underset{(x,g)\in {{\mathcal{C}}^{\kappa }}_{F,/d}}{\mathrm{colim}}x,$$其中 ${{\mathcal{C}}^{\kappa }}_{F,/d}$ 是逗号范畴 $\{(x,g)\mid x\in {\mathcal{C}}^{\kappa },g:Fx\to d\}$. 我们来证 $G$ 就是 $F$ 的右伴随. 由于 $\mathcal{C}$ 被 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 生成, 只需证对 $c\in {\mathcal{C}}^{\kappa }$ 有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,Gd)={\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(Fc,d)$. 由于 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 有 $\kappa$-小余极限, 以及 $F$ 保持余极限, 不难发现 ${{\mathcal{C}}^{\kappa }}_{F,/d}$ 也有 $\kappa$-小余极限; 特别地它是 $\kappa$-滤的范畴. 由于从 $\kappa$-紧对象出发的 $\mathrm{Hom}$ 与 $\kappa$-滤余极限交换, 有$${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,Gd)=\underset{(x,g)\in {{\mathcal{C}}^{\kappa }}_{F,/d}}{\mathrm{colim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,x).$$现在注意到任一 $(x,g)\in {{\mathcal{C}}^{\kappa }}_{F,/d}$ 上的任一 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,x)$ 实际上都是 $(c,g\circ Ff)$ 上的 ${\mathrm{id}}_c$ 沿 $f$ 的像; 故此余极限无非就是 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{D}}(Fc,d)$.

如果 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{C}$ 有左伴随, 它当然保持极限. 设其左伴随为 $F$, 取正则基数 $\kappa$ 使得 $\mathcal{C}$ 由 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 生成, 再取正则基数 $\lambda \ge \kappa$ 使得 $F({\mathcal{C}}^{\kappa })\subseteq {\mathcal{D}}^{\lambda }$. 由于 ${\mathcal{C}}^{\lambda }$ 由 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 在 $\lambda$-小余极限下生成, ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 又在这些余极限下封闭, 有 $F({\mathcal{C}}^{\lambda })\subseteq {\mathcal{D}}^{\lambda }$. 由此不难发现 $G$ 保持 $\lambda$-滤余极限, 即 $G$ 为 $\lambda$-可达.

反过来如果 $G$ 保持极限且可达, 要证明它有左伴随. 这比前面的情形麻烦一些, 故我们把主要部分放在引理 1.2. 有该引理之后, 对 $c\in \mathcal{C}$, 就都有函子$$d\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(c,Gd)$$余可表; 定义 $Fc$ 为 $\mathcal{D}$ 中余表示它的对象, 便得到 $G$ 的左伴随 $F$.

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引理 1.2. 设范畴 $\mathcal{D}$ 可表现, 函子 $G:\mathcal{D}\to \mathsf{Set}$ 可达且保持极限. 则它余可表.

证明. 取正则基数 $\lambda$ 使得 $\mathcal{D}$ 由 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 生成, 且 $G$ 为 $\lambda$-可达. 考虑范畴$$\tilde{\mathcal{D}}=\{(y,x)\mid y\in \mathcal{D},x\in Gy\},$$其中$$\mathrm{Hom}((y,x),(y^{\prime },x^{\prime }))=\{g:y\to y^{\prime }\mid (Gg)(x)=x^{\prime }\},$$则它自然是 $\mathcal{D}$ 上纤维范畴. 由 $G$ 保持极限, 不难发现 $\tilde{\mathcal{D}}$ 中有任意极限, 且与到 $\mathcal{D}$ 的投影交换. 以 ${\tilde{\mathcal{D}}}^{\lambda }$ 记 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 在其中的原像, 则它是小的满子范畴. 以 $(d,a)$ 记 ${\tilde{\mathcal{D}}}^{\lambda }$ 在 $\tilde{\mathcal{D}}$ 中的极限. 由 $G$ 为 $\lambda$-可达, 将 $d$ 写成 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 中元素的 $\lambda$-滤余极限, 可知存在 $(d^{\prime },a^{\prime })\in {\tilde{\mathcal{D}}}^{\lambda }$ 以及 $g:d^{\prime }\to d$ 使得 $(Gg)(a^{\prime })=a$.

现一方面有 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 上 Yoneda 函子 $h^{d^{\prime }}$ 到 $G$ 的自然变换 $g\mapsto (Gg)(a^{\prime })$; 另一方面由 $(d,a)$ 是 ${\tilde{\mathcal{D}}}^{\lambda }$ 在 $\tilde{\mathcal{D}}$ 中的极限, 对任一 $y\in {\mathcal{D}}^{\lambda }$, $x\in Gy$, 都有典范映射 $g_x:d\to y$ 满足 $(G{g}_x)(a)=x$, 这样给出 $G$ 到 $h^d$ 的自然变换; 由这些东西的取法, 不难发现复合映射$$G\to h^d\to h^{d^{\prime }}\to G$$为恒同. 换言之, 作为 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 上的函子, $G$ 是 $h^{d^{\prime }}$ 的收缩, 即有 $h^{d^{\prime }}$ 的幂等自映射, 像为 $G$; 由 Yoneda 引理, 这来自 $d^{\prime }$ 的幂等自映射; 由 $\mathcal{D}$ 可表现, 该幂等自映射在 $\mathcal{D}$ 中有像, 且显然在 ${\mathcal{D}}^{\lambda }$ 中. 由此不难验证该像余表示 $G$, 故 $G$ 余可表.

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2推广至 $\infty$-范畴

此定理可推广至无穷范畴.

定理 2.1. 可表现无穷范畴之间的函子有右伴随当且仅当其保持余极限, 有左伴随当且仅当其可达且保持极限.

3应用

在各种六函子的现代处理中, 最难定义的 $f^{!}$ 通常是直接对 $f_{!}$ 用伴随函子定理给出的.

例 3.1 (拟凝聚层). 设 $f:X\to Y$ 是拟紧拟分离概形的紧合有限表现态射. 以 $\mathsf{D}(-)$ 记概形的拟凝聚导出无穷范畴. 则 $f_{!}:=R{f}_{\ast }:\mathsf{D}(X)\to \mathsf{D}(Y)$ 保持余极限, 故由伴随函子定理其有右伴随, 记作 $f^{!}$.

例 3.2 (通常拓扑). 设 $f:X\to Y$ 是局部紧 Hausdorff 空间的连续映射. 固定系数环 $k$, 以 $\mathsf{D}(-,k)$ 记拓扑空间的 $\mathsf{D}(k)$ 值层范畴. 如 $f$ 是闭浸入, 定义 $f_{!}=f_{\ast }$, 由伴随函子定理它有右伴随, 记作 $f^{!}$, 则由于闭浸入前推保持紧对象, 其右伴随 $f^{!}$ 保持余极限. 对一般的 $f$, 定义紧支前推 $f_{!}:\mathsf{D}(X,k)\to \mathsf{D}(Y,k)$ 为$$f_{!}A=\underset{i:K\subseteq X,K\to Y紧合}{\mathrm{colim}}{f}_{\ast }{i}_{\ast }{i}^{!}A.$$由 $i^{!}$ 保持余极限, $(fi{)}_{\ast }$ 是紧合映射前推亦保持余极限, 由伴随函子定理它有右伴随, 记作 $f^{!}$.

例 3.3 (平展层). 设 $f:X\to Y$ 是拟紧拟分离概形的有限表现态射, $k$ 是系数环. 则用 Nagata 紧化以及开浸入的 $j_{!}$ 可以定义 $f_{!}$. 由伴随函子定理它有右伴随, 这就是 $f^{!}$.

此外, 完全导出的语境下, 余切复形也是用伴随函子定理定义的. 作为 $A$-代数范畴和 $A$-代数附带其上模的范畴之间的函子, $B\mapsto (B,{\mathbb{L}}_{B/A})$ 定义为 $(B,M)\mapsto B\oplus M$ 的左伴随, 其中 $B\oplus M$ 是 $B$ 的平方加厚, 即 $M$ 和自身的乘法定为 $0$.

4相关概念

•	Brown 表示定理
•	六函子
•	凝聚对偶
•	Verdier 对偶

术语翻译

伴随函子定理 • 英文 adjoint functor theorem • 法文 théorème de foncteur adjoint • 拉丁文 theorema de functore adjuncto