Nagata 紧化定理

Nagata 紧化定理是代数几何中的重要结果, 表明每个分离、有限型的概形态射都有紧化. 它由 Masayoshi Nagata 于 1962 年证明, 后由 Pierre Deligne 等人用概形语言重写.

1定理

定理 1.1 (Nagata 紧化定理). 设 $f:X\to S$ 是分离、有限型的概形态射. 则存在分解 $f=\bar{f}j$, 其中 $j:X\to \bar{X}$ 是开浸入, $\bar{f}:\bar{X}\to S$ 是紧合态射. 这样的分解称为 $f$ 的紧化.

证明十分技术性, 参见 [Stacks, 0ATT, 0F3T].

2用途

在平展上同调中, 它可用来定义概形态射的 $f_{!}$, $f^{!}$. 在凝聚上同调中也可用它定义一般的 $f^{!}$.

如 $S=\mathrm{Spec}k$, $\mathrm{char}k=0$, 配合上 Hironaka 奇点消解, 可得

定理 2.1. $X/k$ 是特征 $0$ 域上分离、有限型、光滑概形. 则存在开浸入 $X\hookrightarrow \bar{X}$, 使得 $\bar{X}$ 光滑, $D=\bar{X}\setminus X$ 带上既约闭子概形结构是横截相交的光滑除子, 即 $D={\bigcup }_{i=1}^n{D}_i$, $D_i$ 皆光滑, 且对每个 $x\in \bar{X}$, 如 $x\in D_{i_1}\cap \dots \cap D_{i_r}$, 则各个 $D_{i_j}$ 在 $x$ 处的余法空间在 $x$ 处余切空间中的和是直和.

由此可发展 Hodge 理论. 特征 $p$ 时常用 de Jong 变易定理代替奇点消解做类似的事情.

3相关概念

•	紧化
•	Hironaka 奇点消解
•	de Jong 变易定理

参考文献

[Stacks]

叠计划.

术语翻译

Nagata 紧化定理 • 英文 Nagata compactification theorem