六函子理论

六函子理论是层论中的一种结构, 在代数几何中应用广泛. 给定一类数学对象, 视为空间, 则一种关于这类对象的六函子理论由以下信息构成: 给每个空间 $X$ 配以范畴 $\mathcal{D}(X)$, 视为 $X$ 上某种 “层” 的范畴, 并要求有以下三对伴随函子, 总共六类函子:

•	对空间的态射 $f:X\to Y$, 有一对伴随函子$$f^{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)⊣f_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$分别称为拉回层和前推层函子, 或 “上星”、“下星” 函子.

•	对某些较良好的态射 $g:X\to Y$, 有一对伴随函子$$g_{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)⊣g^{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$分别称为反常前推层和反常拉回层函子, 或 “下叹”、“上叹” 函子.

•	对空间 $X$ 及对象 $a\in \mathcal{D}(X)$, 有一对伴随函子$$-\otimes a:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)⊣\mathcal{H}om(a,-):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X),$$分别称为张量积层和同态层函子.

并且, 这些函子还需满足若干性质. 给定上述信息, 则可以形式地将层论中的若干结论, 例如 Poincaré 对偶等, 推广到新定义的六函子理论中.

给定一种六函子理论, 就能形式地对空间定义四种同调、上同调理论. 记 $p:X\to \ast$ 是空间 $X$ 到终对象 $\ast$ 的态射, $1\in \mathcal{D}(\ast )$ 是张量积的单位, 则可以抽象定义

•	$H^{\bullet }(X)=p_{\ast }{p}^{\ast }(1)$ 为 $X$ 的普通上同调.

•	$H_{\mathrm{c}}^{\bullet }(X)=p_{!}{p}^{\ast }(1)$ 为 $X$ 的紧支上同调.

•	$H_{-\bullet }^{\mathrm{BM}}(X)=p_{\ast }{p}^{!}(1)$ 为 $X$ 的 Borel–Moore 同调.

•	$H_{-\bullet }(X)=p_{!}{p}^{!}(1)$ 为 $X$ 的普通同调.

这些概念是代数拓扑中相应概念的推广.

1定义

以下定义来自 [Scholze 2022].

定义 1.1 (六函子理论). 设 $\mathcal{C}$ 是 $(\infty ,1)$-范畴, 具有有限极限. 设 $\mathsf{E}$ 是 $\mathcal{C}$ 中一族态射, 包含所有同构, 并被复合、拉回保持. 记 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 为伸展范畴, 其中从对象 $X$ 到 $Y$ 的态射形如$$ZXY\text{ ,}fg$$其中 $g\in \mathsf{E}$. 将 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 视为对称幺半 $(\infty ,1)$-范畴, 其幺半结构由 $\mathcal{C}$ 的积给出.

则关于 $(\mathcal{C},\mathsf{E})$ 的六函子理论是指松对称幺半 $(\infty ,1)$-函子$$\mathcal{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},\mathsf{E})⟶(\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat},$$满足以下条件:

•	对 $\mathcal{C}$ 中态射 $f:X\to Y$, 记$$f^{\ast }=\mathcal{D}\left(XYXf{1}_X\right):\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X),$$则 $f^{\ast }$ 具有右伴随 $f_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$.

•	对 $\mathsf{E}$ 中态射 $g:X\to Y$, 记$$g_{!}=\mathcal{D}\left(XXY{1}_{X}g\right):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y),$$则 $g_{!}$ 具有右伴随 $g^{!}:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X)$.

•

对 $X\in \mathcal{C}$, 记$$\otimes :\mathcal{D}(X)\times \mathcal{D}(X)\stackrel{⊠}{⟶}\mathcal{D}(X\times X)\stackrel{{\Delta }^{\ast }}{⟶}\mathcal{D}(X),$$其中 $⊠$ 是松对称幺半 $(\infty ,1)$-函子给出的态射, $\Delta :X\to X\times X$ 是对角态射. 则对每个 $a\in \mathcal{D}(X)$, 函子 $-\otimes a:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$ 具有右伴随 $\mathcal{H}om(a,-):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(X)$.

2参考文献

讲义:

•	Peter Scholze (2022). “Six-functor formalisms”. (pdf)

3相关概念

术语翻译

六函子理论 • 英文 six-functor formalism